Контрольная работа № 1 по теме: «Векторы. Декартовы координаты на плоскости», 9 класс. Вариант 1. Задание 1. Даны векторы a{14; 8}, b{-5; 7}.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа № 1 по теме: «Векторы. Декартовы координаты на плоскости», 9 класс. Вариант 1.
Задание 1. Даны векторы \(\vec a\{14; 8\}, \vec b\{-5; 7\}\). Найдите координаты векторов \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\) и \(\vec d = 4\vec b - 3\vec a\).
Задание 2. Найдите координаты середины отрезка с концами \(A(5; 6)\) и \(B(7; -4)\).
Задание 3. Треугольник \(ABC\) задан координатами вершин \(A(2; -5)\), \(B(18; -5)\), \(C(10; -1)\). Найдите длину медианы \(CK\) треугольника.
Задание 4. Даны точки \(A(1; -5)\), \(B(1; -1)\). Запишите уравнение окружности с центром в точке \(A\) и радиусом \(AB\). Принадлежит ли этой окружности точка \(M(-5; -3)\)?
Задание 5. Найдите косинус угла \(K\) прямоугольного треугольника \(KCM\) если \(K(-1; 9)\), \(C(-4; 6)\), \(M(0; 2)\).
Кратко (вариант 1):
- \(\vec c=(32;38)\), \(\vec d=(-62;4)\).
- Середина отрезка: \((6;1)\).
- Длина медианы \(CK=4\).
- Уравнение окружности: \((x-1)^2+(y+5)^2=16\). Точка \(M(-5;-3)\) не принадлежит окружности.
- \(\cos\angle K=\frac{3}{5}=0{,}6\).
1. Координаты векторов
При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число, а при сложении векторов складываются соответствующие координаты.
\[ 3\vec a=(3\cdot14;\,3\cdot8)=(42;24), \qquad 2\vec b=(2\cdot(-5);\,2\cdot7)=(-10;14) \]
\[ \vec c=3\vec a+2\vec b=(42-10;\,24+14)=(32;38) \]
Теперь:
\[ 4\vec b=(-20;28),\qquad 3\vec a=(42;24) \]
\[ \vec d=4\vec b-3\vec a=(-20-42;\,28-24)=(-62;4) \]
2. Середина отрезка
Координаты середины — это средние арифметические координат концов:
\[ \left(\frac{x_A+x_B}{2};\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]
\[ \left(\frac{5+7}{2};\,\frac{6+(-4)}{2}\right) =(6;1) \]
3. Медиана \(CK\)
Медиана \(CK\) идёт из вершины \(C\) в середину стороны \(AB\). Найдём точку \(K\):
\[ K\left(\frac{2+18}{2};\,\frac{-5+(-5)}{2}\right)=(10;-5) \]
Теперь длина \(CK\):
\[ CK=\sqrt{(10-10)^2+(-1-(-5))^2} =\sqrt{0+16}=4 \]
4. Уравнение окружности
Радиус \(AB\):
\[ AB=\sqrt{(1-1)^2+(-1-(-5))^2} =\sqrt{0+16}=4 \]
Окружность с центром \(A(1;-5)\) и радиусом \(4\):
\[ (x-1)^2+(y+5)^2=16 \]
Проверим точку \(M(-5;-3)\):
\[ (-5-1)^2+(-3+5)^2=36+4=40\ne16 \]
Значит, точка \(M\) не принадлежит окружности.
5. Косинус угла \(K\)
Найдём векторы, выходящие из вершины \(K\):
\[ \overrightarrow{KC}=C-K=(-4-(-1);\,6-9)=(-3;-3) \]
\[ \overrightarrow{KM}=M-K=(0-(-1);\,2-9)=(1;-7) \]
Косинус угла между векторами:
\[ \cos\angle K= \frac{\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{KM}} {|\overrightarrow{KC}|\cdot|\overrightarrow{KM}|} \]
\[ \overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{KM} =(-3)\cdot1+(-3)\cdot(-7)=18 \]
\[ |\overrightarrow{KC}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2, \qquad |\overrightarrow{KM}|=\sqrt{1+49}=5\sqrt2 \]
\[ \cos\angle K=\frac{18}{3\sqrt2\cdot5\sqrt2} =\frac{18}{30}=\frac35 \]
Проверка: \(KC^2+CM^2=18+32=50=KM^2\), поэтому треугольник прямоугольный с прямым углом при \(C\). Тогда \(\cos K=\frac{KC}{KM}=\frac{3}{5}\).
