Выделить квадрат двучлена.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Выделить квадрат двучлена.
1.) $x^2+2x-3$
2.) $x^2-3x-4$
3.) $x^2+8x+15$
4.) $2x^2-4x+6$
5.) $6x^2-18x+12$
6.) $8x^2+64x+56$
7.) $-3x^2-3x+6=0$

№1
На рисунке прямые CX, BY и AZ параллельны друг другу. Найдите отношение XY:YZ, если а) AB = BC; б) AB = 3BC; в) AB:BC = 7 : 4; г) AB = 36,5, а BC = 21,9.
[Рисунок: три параллельные горизонтальные прямые; на верхней отмечены C (слева) и X (справа), на средней — B и Y, на нижней — A и Z; через A, B, C и через Z, Y, X проведены наклонные прямые.]
№2
$AC=CB$ и $A_{1}C_{1}=C_{1}B_{1}$. Правда ли, что $AA_{1}\parallel CC_{1}\parallel BB_{1}$?
[Рисунок: две прямые выходят из одной точки; на одной отмечены A, C, B, на другой — A1, C1, B1; проведены отрезки AA1, CC1, BB1.]
№3
Средняя линия трапеции равна 36 см, а одно основание больше другого в 3 раза. Найдите основания трапеции.

Answer

Сначала краткие ответы, ниже — принцип решения.

Фото 1. Выделить квадрат двучлена

1. $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$

2. $x^2-3x-4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{25}{4}$

3. $x^2+8x+15=(x+4)^2-1$

4. $2x^2-4x+6=2(x-1)^2+4$

5. $6x^2-18x+12=6\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{2}$

6. $8x^2+64x+56=8(x+4)^2-72$

7. $-3x^2-3x+6=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}$.
Так как в условии стоит $=0$, получаем корни:
$$
x_1=-2,\qquad x_2=1.
$$

Фото 2

№1.
а) $XY:YZ=1:1$
б) $XY:YZ=1:3$
в) $XY:YZ=4:7$
г) $XY:YZ=3:5$

№2. Нет, не обязательно.
Равенства $AC=CB$ и $A_1C_1=C_1B_1$ означают только, что $C$ и $C_1$ — середины соответствующих отрезков. Из этого параллельность $AA_1\parallel CC_1\parallel BB_1$ не следует.

№3. Основания трапеции: $18$ см и $54$ см.

Как получаются ответы

1. Выделение полного квадрата

Для выражения $x^2+px+q$ используют формулу
$$
x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}.
$$
То есть берём половину коэффициента при $x$, образуем квадрат суммы или разности, а затем вычитаем «лишнее».

Например:
$$
x^2+2x-3=(x+1)^2-1-3=(x+1)^2-4.
$$

Если старший коэффициент не равен $1$, его удобно сначала вынести:
$$
ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$

Например:
$$
2x^2-4x+6=2(x^2-2x+3)=2\bigl((x-1)^2+2\bigr)=2(x-1)^2+4.
$$

В №7 сначала можно разделить уравнение на $-3$:
$$
-3x^2-3x+6=0
\quad\Rightarrow\quad
x^2+x-2=0.
$$
Далее:
$$
x^2+x-2=\left(x+\frac12\right)^2-\frac94=0,
$$
$$
\left(x+\frac12\right)^2=\frac94,
$$
$$
x+\frac12=\pm\frac32.
$$
Отсюда $x_1=-2$, $x_2=1$.

Проверка: если раскрыть скобки в каждом ответе, получится исходное выражение.

2. №1: отношение отрезков

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки. В этой задаче важно расположение точек: отрезку $AB$ соответствует $YZ$, а отрезку $BC$ соответствует $XY$. Поэтому
$$
\frac{AB}{BC}=\frac{YZ}{XY},
$$
то есть
$$
XY:YZ=BC:AB.
$$

Отсюда:

а) $AB=BC$, значит $BC:AB=1:1$;

б) $AB=3BC$, значит $BC:AB=1:3$;

в) $AB:BC=7:4$, значит $BC:AB=4:7$;

г) $BC:AB=21{,}9:36{,}5=219:365=3:5$.

3. №2: почему нельзя утверждать параллельность

Если $C$ — середина $AB$, а $C_1$ — середина $A_1B_1$, то $CC_1$ станет средней линией трапеции только тогда, когда уже известно, что, например, $AA_1\parallel BB_1$. Одних равенств отрезков для этого недостаточно.

Можно привести контрпример. Возьмём точки
$$
A(1;0),\quad C(2;0),\quad B(3;0),
$$
$$
A_1(0;1),\quad C_1(0;3),\quad B_1(0;5).
$$
Тогда $AC=CB=1$ и $A_1C_1=C_1B_1=2$, но прямые $AA_1$, $CC_1$, $BB_1$ имеют разные углы наклона, значит, не параллельны.

4. №3: средняя линия трапеции

Пусть меньшее основание равно $x$, тогда большее равно $3x$. Средняя линия трапеции:
$$
\frac{x+3x}{2}=36.
$$
$$
2x=36 \quad\Rightarrow\quad x=18.
$$
Тогда большее основание:
$$
3x=54.
$$

Ответ: $18$ см и $54$ см. Проверка: $(18+54):2=36$ см.