Выделить квадрат двучлена. 1.) x²+2x-3 2.) x²-3x-4 3.) x²+8x+15 4.) 2x²-4x+6 5.) 6x²-18x+12 6.) 8x²+64x+56 7.) -3x²-3x+6=0

Краткий ответ (выделение квадрата двучлена):

1. \(x^2+2x-3=(x+1)^2-4\)
2. \(x^2-3x-4=\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^2-\tfrac{25}{4}\)
3. \(x^2+8x+15=(x+4)^2-1\)
4. \(2x^2-4x+6=2(x-1)^2+4\)
5. \(6x^2-18x+12=6\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^2-\tfrac{3}{2}\)
6. \(8x^2+64x+56=8(x+4)^2-72\)
7. \(-3x^2-3x+6=0 \Rightarrow x_1=1,\ x_2=-2\)

Как это работает

Основа — формула квадрата суммы/разности: \[x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\qquad x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\]

Алгоритм для \(x^2+bx+c\):

1. Смотрим на коэффициент при \(x\) — это \(b\).
2. Берём его половину: \(\frac{b}{2}\). Это будет число \(a\) в скобке.
3. Записываем \(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\), но при раскрытии появится лишнее \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\) — его надо вычесть, а затем прибавить свободный член.
4. Итог: \(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+c\).

Проверка на №1: \(b=2\), половина \(=1\), значит \((x+1)^2-1-3=(x+1)^2-4\). Раскроем обратно: \(x^2+2x+1-4=x^2+2x-3\) — верно.

Если старший коэффициент не 1 (№4–6), сначала выносим его за скобку: \(2x^2-4x+6=2(x^2-2x)+6=2\big((x-1)^2-1\big)+6=2(x-1)^2-2+6=2(x-1)^2+4\). Обратите внимание: свободный член выносится вместе с коэффициентом, а «лишнее» слагаемое вычитается уже внутри скобки.

№7 — уравнение. Сначала удобно разделить на \(-3\), чтобы коэффициент при \(x^2\) стал 1: \(x^2+x-2=0\Rightarrow \left(x+\tfrac12\right)^2-\tfrac14-2=0\Rightarrow \left(x+\tfrac12\right)^2=\tfrac94\). Отсюда \(x+\tfrac12=\pm\tfrac32\), то есть \(x=1\) или \(x=-2\). Проверка по теореме Виета: сумма корней \(-1\), произведение \(-2\) — сходится.