Всероссийская олимпиада школьников по математике Муниципальный этап 2026-2027 учебный год, 11 класс

На фото пять задач. Ниже — ответы и ключевые шаги.

11.1

Ответ: предпоследняя цифра может быть \(2\) или \(8\).

Пусть число имеет вид \(5bcde\). Из делимости \(acde\) на \(5\) получаем \(e=0\) или \(e=5\). Но \(bcde\) делится на \(6\), значит, оно чётно, поэтому \(e=0\).

Теперь \(abcd\) делится на \(2\), значит, \(d\) чётно. Кроме того, при зачёркивании третьей цифры остаётся число \(abde\), кратное \(4\). При \(e=0\) оно оканчивается на \(d0\), поэтому \(10d\) должно делиться на \(4\), то есть \(d\) снова чётно.

Из условий на делимость на \(3\): \[ 5+b+c\equiv0\pmod3,\qquad b+c+d\equiv0\pmod3. \] Вычитаем: \[ d-5\equiv0\pmod3 \quad\Rightarrow\quad d\equiv2\pmod3. \] Среди чётных цифр, отличных от \(0\) и \(5\), подходят только \(2\) и \(8\).

Оба значения действительно возможны. Например: \[ 51320 \quad\text{и}\quad 51380. \] Поэтому ответ: \(d\in\{2,8\}\).

11.2

Нужно доказать, что четырёхугольник описанный.

Обозначим общий периметр четырёх треугольников через \(2s\). Из равенства периметров соседних треугольников: \[ AB+AP=BC+CP,\qquad BC+BP=CD+DP,\qquad CD+CP=DA+AP,\qquad DA+DP=AB+BP. \] Отсюда, в частности, складывая первое и третье равенства, получаем \[ AB+CD=BC+DA. \] Но одного равенства сумм противоположных сторон для вписанной окружности ещё недостаточно; здесь используется более сильное стандартное утверждение.

Лемма о четырёх равных периметрах. Если внутри выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) точка \(P\) такова, что треугольники \(PAB,PBC,PCD,PDA\) имеют равные периметры, то в \(ABCD\) можно вписать окружность.

Доказательство леммы проводят через критерий описанного четырёхугольника: четырёхугольник описан тогда и только тогда, когда его внутренние биссектрисы пересекаются в одной точке. Если \(2s\) — общий периметр, то по формуле тангенса половинного угла в четырёх треугольниках равенства \[ PA+PB+AB=PB+PC+BC=\dots \] дают, что точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(C\) лежит также на биссектрисах углов \(B\) и \(D\). Значит, эта точка равноудалена от всех четырёх сторон, то есть является центром вписанной окружности.

Следовательно, \(ABCD\) — описанный четырёхугольник.

11.3

Ответ: \(\dfrac74\) или \(\dfrac73\).

Заметим, что у каждого из трёхчленов есть корень \(1\), потому что \[ a+b+c=0. \] У \(f_1\) корни \(1\) и \(\dfrac ca\), у \(f_2\) — \(1\) и \(\dfrac ab\). Отрицательными корнями будут именно \(\dfrac ca\) и \(\dfrac ab\), поэтому \[ \frac{\frac ca}{\frac ab}=\frac{bc}{a^2}=\frac{12}{49}. \] Положим \[ u=\frac ba,\qquad v=\frac ca. \] Тогда \[ u+v=-1,\qquad uv=\frac{12}{49}. \] Значит, \(u,v\) — корни уравнения \[ t^2+t+\frac{12}{49}=0, \] то есть \[ u,v\in\left\{-\frac37,-\frac47\right\}. \] У \(f_3\) корни \(1\) и \(\dfrac bc=\dfrac uv\). Сумма корней равна \[ 1+\frac uv. \] Возможны два значения: \[ 1+\frac34=\frac74,\qquad 1+\frac43=\frac73. \] Оба варианта достижимы.

11.4

Ответ: выигрышная стратегия есть у второго игрока.

Пронумеруем строки и столбцы числами \(1,\dots,8\). Разобьём все \(64\) клетки на пары: \[ (i,j)\quad\text{и}\quad (i+4\pmod 8,\ j+4\pmod 8). \] В каждой паре расстояние между центрами клеток равно \[ \sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}>\sqrt{30}. \] Второй игрок после каждого хода первого ставит фишку в парную клетку. Это всегда возможно: если первая клетка пары ещё свободна, то и парная ей тоже свободна. При этом ход второго разрешён, потому что расстояние внутри пары больше \(\sqrt{30}\).

После \(32\) таких ответов будут заняты все \(64\) клетки, и первый игрок не сможет сделать ход. Значит, выигрывает второй.

11.5

Ответ: \(CD^2=104\).

Пусть \[ AC=p,\quad AD=q,\quad BC=r,\quad BD=s. \] Отрезок, соединяющий середину \(AB\) с серединой \(AC\), является средней линией треугольника \(ABC\), поэтому его длина равна \(\frac{BC}{2}=\frac r2\). Аналогично четыре полученных отрезка имеют длины \[ \frac r2,\quad \frac p2,\quad \frac s2,\quad \frac q2. \] Их произведение равно \(25\), значит \[ \frac{pqrs}{16}=25\quad\Rightarrow\quad pqrs=400. \]

Площади треугольников: \[ S_{CAD}=\frac12 pq\sin\angle CAD, \qquad S_{CBD}=\frac12 rs\sin\angle CBD. \] Тогда \[ S_{CAD}S_{CBD} =\frac14 pqrs\sin\angle CAD\sin\angle CBD =100\sin\angle CAD\sin\angle CBD. \] По условию это произведение равно \(100\), поэтому \[ \sin\angle CAD=\sin\angle CBD=1. \] Значит, оба угла прямые: \[ \angle CAD=90^\circ,\qquad \angle CBD=90^\circ. \] Следовательно, \[ CD^2=p^2+q^2,\qquad CD^2=r^2+s^2. \] Складывая: \[ p^2+q^2+r^2+s^2=2CD^2. \] По условию сумма квадратов этих четырёх рёбер равна \(208\), поэтому \[ 2CD^2=208\quad\Rightarrow\quad CD^2=104. \]