задание 100 и 101

Question

задание 100 и 101

Расшифровка фото нейросетью:
100 На рисунке 59 $BC=AD$, $\angle 1=\angle 2$. а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны; б) найдите $AB$ и $BC$, если $AD=17$ см, $DC=14$ см.
101 На рисунке 60 $OA=OD$, $OB=OC$, $\angle 1=74^\circ$, $\angle 2=36^\circ$. а) Докажите, что треугольники $AOB$ и $DOC$ равны; б) найдите угол $ACD$.
[Рисунок 59: четырёхугольник $ABCD$, проведена диагональ $AC$; на сторонах $BC$ и $AD$ отмечены равные засечки; отмечены $\angle 1$ при вершине $C$ между $BC$ и $AC$ и $\angle 2$ при вершине $A$ между $AC$ и $AD$.]
[Рисунок 60: четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; отмечены равные отрезки $OA$ и $OD$, $OB$ и $OC$; отмечены $\angle 1$ при вершине $B$ и $\angle 2$ при вершине $C$.]

Answer

Кратко:

№ 100: $\triangle ABC=\triangle CDA$; $AB=14$ см, $BC=17$ см.

№ 101: $\triangle AOB=\triangle DOC$; $\angle ACD=74^\circ$.

Задача 100

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$.

2. У них:
$BC=AD$ — по условию;

$AC$ — общая сторона;

$\angle BCA=\angle 1$, $\angle DAC=\angle 2$, а $\angle 1=\angle 2$, значит, $\angle BCA=\angle DAC$.

3. Получили две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников:
$$
\triangle ABC=\triangle CDA.
$$

4. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому $AB=CD$, а $BC=AD$.

5. Подставляем данные:
$$
BC=AD=17\text{ см},\qquad AB=DC=14\text{ см}.
$$

Проверка: соответственные элементы совпали: $BC=AD$, $AB=CD$, $AC$ — общая.

Задача 101

1. В треугольниках $AOB$ и $DOC$:
$OA=OD$ — по условию;

$OB=OC$ — по условию;

$\angle AOB=\angle DOC$ — как вертикальные углы.

2. По первому признаку:
$$
\triangle AOB=\triangle DOC.
$$

3. В равных треугольниках соответственные углы равны:
$$
\angle OBA=\angle OCD.
$$
На рисунке $\angle 1=\angle OBA$, поэтому
$$
\angle OCD=\angle 1=74^\circ.
$$

4. Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой — это диагональ $AC$. Значит, лучи $CA$ и $CO$ совпадают, и
$$
\angle ACD=\angle OCD=74^\circ.
$$

Проверка: равенство треугольников даёт равенство углов при вершинах $B$ и $C$; угол $ACD$ — тот же угол $OCD$, только с другой стороной $CA$.

Угол $\angle 2=36^\circ$ в пункте б) не нужен: для $\angle ACD$ достаточно $\angle 1$. Это дополнительное данное.

Что запомнить: первый признак — «две стороны и угол между ними». Общая сторона и вертикальные углы часто помогают доказать равенство треугольников, а после доказательства можно переносить равенство на соответствующие элементы.