Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это первое задание в чате — предыдущей решённой задачи не было, поэтому разбираю его как самостоятельное, но в текущем диалоге.

Краткий ответ

1. \(x^{2}+2x-3=(x+1)^{2}-4\)
2. \(x^{2}-3x-4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\)
3. \(x^{2}+8x+15=(x+4)^{2}-1\)
4. \(2x^{2}-4x+6=2(x-1)^{2}+4\)
5. \(6x^{2}-18x+12=6\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{3}{2}\)
6. \(8x^{2}+64x+56=8(x+4)^{2}-72\)
7. \(-3x^{2}-3x+6=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{27}{4}\); корни \(x=1\) и \(x=-2\)

Как это делается

Схема одна: приводим к формуле \[ a^{2}\pm 2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}. \] Если перед \(x^{2}\) стоит коэффициент, сначала выносим его за скобку.

1) Берём \(x^{2}+2x\): здесь \(2ab=2x\), значит \(b=1\), добавляем \(1\) и сразу вычитаем: \[ x^{2}+2x-3=(x^{2}+2x+1)-1-3=(x+1)^{2}-4. \]

2) \(2ab=3x\), поэтому \(b=\frac{3}{2}\): \[ x^{2}-3x-4=\left(x^{2}-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{4}-4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}. \]

3) \(2ab=8x\), \(b=4\): \[ x^{2}+8x+15=(x+4)^{2}-16+15=(x+4)^{2}-1. \]

4) Выносим \(2\): \[ 2(x^{2}-2x+3)=2\bigl((x-1)^{2}-1+3\bigr)=2(x-1)^{2}+4. \]

5) Выносим \(6\): \[ 6(x^{2}-3x+2)=6\Bigl(\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}+2\Bigr)=6\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{3}{2}. \]

6) Выносим \(8\): \[ 8(x^{2}+8x+7)=8\bigl((x+4)^{2}-16+7\bigr)=8(x+4)^{2}-72. \]

7) Сначала выносим \(-3\), затем решаем через выделенный квадрат: \[ -3(x^{2}+x-2)=-3\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}-2\right)=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{27}{4}. \] Уравнение: \[ -3\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{27}{4}=0 \ \Rightarrow\ \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} \ \Rightarrow\ x+\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}. \] Отсюда \(x=1\) или \(x=-2\).

Проверка подстановкой: при \(x=1\) получаем \(-3-3+6=0\), при \(x=-2\): \(-12+6+6=0\). Всё сходится.

Если нужно, разберём ещё один пример на выделение квадрата — например, с дробным коэффициентом.