1. |x−5|=3; 2. |x+4|=0; 3. |x+4|=2x; 4. |x+5|=−3; 5. |x+1|=−3x

Кратко по номерам

1. \(\left|x-5\right|=3\): \(x=2;\ 8\)
2. \(\left|x+4\right|=0\): \(x=-4\)
3. \(\left|x+4\right|=2x\): \(x=4\)
4. \(\left|x+5\right|=-3\): нет решений
5. \(\left|x+1\right|=-3x\): \(x=-\frac14\)
6. \(\left|4x+3\right|=x\): нет решений
7. \(\left|2x-3\right|=x\): \(x=1;\ 3\)
8. \(\left|2x-5\right|=\left|x\right|\): \(x=\frac53;\ 5\)
9. \(\left|x+5\right|=\left|10+x\right|\): \(x=-\frac{15}{2}\)
10. \(\left|2-x\right|=2x+1\): \(x=\frac13\)
11. \(\left|3x+1\right|=9-x\): \(x=-5;\ 2\)
12. \(\left|2x+5\right|-\left|3x\right|=0{,}5\): \(x=-\frac{9}{10};\ \frac92\)
13. \(\left|2-5x\right|=4x+10\): \(x=-\frac89;\ 12\)
14. \(\left|x-2\right|+\left|x+8\right|=10\): \(x\in[-8;2]\)
15. \(\left|x-6\right|=\left|x^2-5x+9\right|\): \(x=1;\ 3\)
16. \(\left|4-x\right|+\left|5+x\right|=19\): \(x=-10;\ 9\)

Как это решать

Главное правило: для уравнения \(\left|A\right|=b\) нужно сначала потребовать \(b\ge0\), а потом решать два случая:

\[ A=b \quad \text{или} \quad A=-b. \]

Например, в №3 справа стоит \(2x\), поэтому нужно \(x\ge0\). Тогда \(\left|x+4\right|=x+4\), и получаем \(x+4=2x\), откуда \(x=4\).

В №6 при \(x\ge0\) уравнение даёт \(4x+3=x\), то есть \(x=-1\), но это противоречит \(x\ge0\). Поэтому решений нет.

Для уравнений вида \(\left|A\right|=\left|B\right|\):

\[ A=B \quad \text{или} \quad A=-B. \]

Так в №15:

\[ x-6=x^2-5x+9 \]

даёт \(x^2-6x+15=0\), а дискриминант отрицательный. Второй случай:

\[ x-6=-(x^2-5x+9) \]

даёт \(x^2-4x+3=0\), то есть \(x=1\) или \(x=3\).

В №14 удобно заметить, что \(\left|x-2\right|+\left|x+8\right|\) — это сумма расстояний от точки \(x\) до \(2\) и до \(-8\). Расстояние между этими точками равно \(10\), поэтому равенство выполняется для всех \(x\) между ними:

\[ x\in[-8;2]. \]

В №12 были критически важны точки, где модули обнуляются: \(x=-\frac52\) и \(x=0\). Проверка интервалов даёт \(x=-\frac{9}{10}\) и \(x=\frac92\).

Я проверил подстановкой «неочевидные» корни: они действительно обращают исходные уравнения в верные равенства.