х-2у=8 реши

Кратко: в уравнении \(x-2y=8\) удобно выразить \(x\) через \(y\), затем брать любые целые \(y\) — тогда \(x\) тоже будет целым.

Как искать целые решения

1. Выражаем \(x\): \[ x=8+2y \]

2. Подставляем вместо \(y\) любые целые числа: \(0,\ 1,\ -1,\ 2,\ldots\)

3. Считаем \(x\) и записываем пару \((x;y)\).

Три целых решения

• Если \(y=0\), то \(x=8+2\cdot0=8\). Решение: \((8;0)\).
• Если \(y=1\), то \(x=8+2\cdot1=10\). Решение: \((10;1)\).
• Если \(y=-1\), то \(x=8+2\cdot(-1)=6\). Решение: \((6;-1)\).

Проверка: \[ 8-2\cdot0=8,\qquad 10-2\cdot1=8,\qquad 6-2\cdot(-1)=8. \]

Все три пары подходят.

Общий вид

Так как \(x=8+2y\), при любом целом \(y\) число \(x\) тоже целое. Поэтому все целые решения можно записать так: \[ (x;y)=(8+2k;\ k),\quad k\in\mathbb Z. \]

То есть целых решений бесконечно много: достаточно выбрать любое целое \(y\). Именно поэтому в номере 396 и просят найти «три каких-нибудь» решения, а не одно единственное.

В номере 396 не нужно находить все решения — достаточно указать три каких-нибудь. Если нужны именно целые, удобно выразить одну переменную через другую и подставлять целые значения.

Пункт а) \(x-2y=8\)

Выразим \(x\):

\[ x=8+2y \]

Теперь берём любые целые \(y\):

\(y\)	\(x=8+2y\)	Пара
\(0\)	\(8\)	\((8;0)\)
\(1\)	\(10\)	\((10;1)\)
\(-1\)	\(6\)	\((6;-1)\)

Проверка:

\[ 8-2\cdot0=8,\quad 10-2\cdot1=8,\quad 6-2\cdot(-1)=8 \]

Всё верно. Все целые решения этого уравнения записываются так:

\[ (8+2k;\ k),\quad k\in\mathbb Z \]

То есть \(x\) всегда чётный, а \(y\) — любое целое число.

Пункт б) \(x+0y=10\)

Так как \(0y=0\) при любом \(y\), получаем:

\[ x=10 \]

Три решения: \((10;0)\), \((10;1)\), \((10;-2)\).

Пункт в) \(x-xy=12\)

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(1-y)=12 \]

Выбираем \(y\) так, чтобы \(1-y\) делило \(12\):

• \(y=0\): \(x=12\), пара \((12;0)\);
• \(y=2\): \(x=-12\), пара \((-12;2)\);
• \(y=-1\): \(x=6\), пара \((6;-1)\).

Проверка:

\[ 12-12\cdot0=12 \]

\[ -12-(-12)\cdot2=12 \]

\[ 6-6\cdot(-1)=12 \]

Пункт г) \((x+y)(y-2)=0\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

1. \(x+y=0\), то есть \(y=-x\).
   Например: \((1;-1)\), \((0;0)\), \((3;-3)\).

2. \(y-2=0\), то есть \(y=2\), а \(x\) — любое.
   Например: \((0;2)\), \((5;2)\), \((-4;2)\).

Достаточно взять любые три пары, например \((1;-1)\), \((0;0)\), \((0;2)\).

Главный принцип: в уравнении с двумя переменными решений бесконечно много; чтобы найти три, выражаем одну переменную через другую и подставляем удобные значения.

Три решения уравнения \(x-2y=8\):

\[ (8;0),\quad (10;1),\quad (6;-1) \]

Как они получились: выражаем \(x\):

\[ x=8+2y \]

Подставляем удобные значения \(y\):

• \(y=0\): \(x=8+2\cdot0=8\), значит \((8;0)\);
• \(y=1\): \(x=8+2\cdot1=10\), значит \((10;1)\);
• \(y=-1\): \(x=8+2\cdot(-1)=6\), значит \((6;-1)\).

Проверка:

\[ 8-2\cdot0=8, \]

\[ 10-2\cdot1=8, \]

\[ 6-2\cdot(-1)=8. \]

Все три пары подходят.

Вот полное решение упражнения 399. Для каждого уравнения сначала упрощаем его, потом строим прямую (или две прямые).

а) \(3x+0y=12\)

Так как \(0y=0\), получаем:

\[ 3x=12 \]

\[ x=4 \]

График — вертикальная прямая, проходящая через точку \((4;0)\), параллельная оси \(y\).

Точки для построения: \((4;0)\), \((4;2)\), \((4;-2)\).

---

б) \(0x+y=1\)

Так как \(0x=0\), получаем:

\[ y=1 \]

График — горизонтальная прямая, проходящая через точку \((0;1)\), параллельная оси \(x\).

Точки для построения: \((-2;1)\), \((0;1)\), \((2;1)\).

---

в) \(x=5\)

График — вертикальная прямая, проходящая через точку \((5;0)\), параллельная оси \(y\).

Точки для построения: \((5;0)\), \((5;1)\), \((5;-1)\).

---

г) \(y=1{,}5\)

График — горизонтальная прямая, проходящая через точку \((0;1{,}5)\), параллельная оси \(x\).

Точки для построения: \((-2;1{,}5)\), \((0;1{,}5)\), \((2;1{,}5)\).

---

д) \((x-2)(y-3)=0\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad y-3=0 \]

То есть:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad y=3 \]

График состоит из двух прямых:

• вертикальной \(x=2\);
• горизонтальной \(y=3\).

Они пересекаются в точке \((2;3)\).

Для построения:

• у прямой \(x=2\) берём точки \((2;0)\), \((2;3)\), \((2;5)\);
• у прямой \(y=3\) берём точки \((0;3)\), \((2;3)\), \((5;3)\).

---

е) \((x+3)(y+1)=0\)

\[ x+3=0 \quad \text{или} \quad y+1=0 \]

\[ x=-3 \quad \text{или} \quad y=-1 \]

График — две прямые:

• вертикальная \(x=-3\);
• горизонтальная \(y=-1\).

Они пересекаются в точке \((-3;-1)\).

Точки для построения:

• на \(x=-3\): \((-3;0)\), \((-3;-1)\), \((-3;2)\);
• на \(y=-1\): \((-5;-1)\), \((-3;-1)\), \((0;-1)\).

---

ж) \(|x|=2\)

Модуль числа равен \(2\), значит:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=-2 \]

График — две вертикальные прямые:

\[ x=2 \quad \text{и} \quad x=-2 \]

Точки для построения: \((2;0)\), \((2;3)\), \((-2;0)\), \((-2;3)\).

---

з) \(|y|=3\)

\[ y=3 \quad \text{или} \quad y=-3 \]

График — две горизонтальные прямые:

\[ y=3 \quad \text{и} \quad y=-3 \]

Точки для построения: \((0;3)\), \((2;3)\), \((0;-3)\), \((2;-3)\).

---

Краткая сводка ответов

Пункт	Что получается на графике
а)	прямая \(x=4\)
б)	прямая \(y=1\)
в)	прямая \(x=5\)
г)	прямая \(y=1{,}5\)
д)	прямые \(x=2\) и \(y=3\)
е)	прямые \(x=-3\) и \(y=-1\)
ж)	прямые \(x=2\) и \(x=-2\)
з)	прямые \(y=3\) и \(y=-3\)

Главное правило: уравнение вида \(x=a\) даёт вертикальную прямую, а уравнение вида \(y=b\) — горизонтальную.