Реши все рациональные уравнения в конце нужно еще составить систему уравнений и решить ее
Сверь числа и знаки с фото.
а) \(\frac{c+2}{c^{2}-5c}-\frac{c-5}{2c^{2}-50}=\frac{c+25}{2c^{2}-50}\); б) \(\frac{3y-1}{6y-3}-\frac{1}{1-4y^{2}}=\frac{y}{2y+1}\); в) \(\frac{4(d+9)}{5d^{2}-45}+\frac{d+3}{5d^{2}-15d}=\frac{d-3}{d^{2}+3d}\); г) \(\frac{1}{4x-6}+\frac{2x-5}{18-8x^{2}}-\frac{1}{2x^{2}+3x}=0\). \(\frac{3x^{2}-6x+6301}{x^{2}-27x+11}=\frac{2x^{2}+21x+6290}{x^{2}-27x+11}\). \(\frac{x^{2}-7x+6}{x^{2}+1}+\frac{(x-1)(x-6)}{(1-x)(1+x)+2x^{2}}=0\);
Краткие ответы:
а) \(c=\dfrac{10}{3}\);
б) корней нет;
в) \(d=\dfrac12\);
г) корней нет;
нижнее 1-е уравнение: корней нет;
нижнее 2-е уравнение: \(x=1\), \(x=6\).
Общий принцип: сначала находим ОДЗ — знаменатели не равны нулю. Затем умножаем уравнение на общий знаменатель, решаем получившееся уравнение и обязательно отбрасываем корни, при которых исходный знаменатель обращается в нуль.
а)
\[ \frac{c+2}{c(c-5)}-\frac{c-5}{2(c-5)(c+5)} =\frac{c+25}{2(c-5)(c+5)} \]
ОДЗ: \(c\ne -5,\ 0,\ 5\).
Умножаем на \(2c(c-5)(c+5)\):
\[ 2(c+2)(c+5)-c(c-5)=c(c+25) \]
\[ c^2+19c+20=c^2+25c \]
\[ 20=6c \]
\[ c=\frac{10}{3} \]
Корень входит в ОДЗ.
б)
\[ \frac{3y-1}{3(2y-1)}-\frac{1}{1-4y^2} =\frac{y}{2y+1} \]
Так как
\[ 1-4y^2=-(2y-1)(2y+1), \]
получаем:
\[ \frac{3y-1}{3(2y-1)} +\frac{1}{(2y-1)(2y+1)} =\frac{y}{2y+1} \]
ОДЗ: \(y\ne -\dfrac12,\ \dfrac12\).
Умножаем на \(3(2y-1)(2y+1)\):
\[ (3y-1)(2y+1)+3=3y(2y-1) \]
\[ 6y^2+y+2=6y^2-3y \]
\[ 4y+2=0 \]
\[ y=-\frac12 \]
Но \(y=-\dfrac12\) не входит в ОДЗ. Значит, корней нет.
в)
\[ \frac{4(d+9)}{5(d-3)(d+3)} +\frac{d+3}{5d(d-3)} =\frac{d-3}{d(d+3)} \]
ОДЗ: \(d\ne -3,\ 0,\ 3\).
Умножаем на \(5d(d-3)(d+3)\):
\[ 4d(d+9)+(d+3)^2=5(d-3)^2 \]
\[ 4d^2+36d+d^2+6d+9=5d^2-30d+45 \]
\[ 5d^2+42d+9=5d^2-30d+45 \]
\[ 72d=36 \]
\[ d=\frac12 \]
Корень входит в ОДЗ.
г)
\[ \frac{1}{4x-6} +\frac{2x-5}{18-8x^2} -\frac{1}{2x^2+3x}=0 \]
Раскладываем знаменатели:
\[ 4x-6=2(2x-3), \]
\[ 18-8x^2=-2(2x-3)(2x+3), \]
\[ 2x^2+3x=x(2x+3). \]
ОДЗ:
\[ x\ne -\frac32,\ 0,\ \frac32. \]
Умножаем на \(2x(2x-3)(2x+3)\):
\[ x(2x+3)-x(2x-5)-2(2x-3)=0 \]
\[ 2x^2+3x-2x^2+5x-4x+6=0 \]
\[ 4x+6=0 \]
\[ x=-\frac32 \]
Но это значение запрещено ОДЗ. Значит, корней нет.
Нижнее 1-е уравнение
\[ \frac{3x^2-6x+6301}{x^2-27x+11} = \frac{2x^2+21x+6290}{x^2-27x+11} \]
Пусть
\[ D=x^2-27x+11. \]
ОДЗ: \(D\ne0\).
При допустимых \(x\) можно приравнять числители:
\[ 3x^2-6x+6301=2x^2+21x+6290 \]
Но разность числителей равна
\[ x^2-27x+11=D. \]
То есть равенство числителей означало бы \(D=0\), а это запрещено. Значит, корней нет.
Нижнее 2-е уравнение
\[ \frac{x^2-7x+6}{x^2+1} + \frac{(x-1)(x-6)}{(1-x)(1+x)+2x^2} =0 \]
Заметим:
\[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6), \]
\[ (1-x)(1+x)+2x^2=1-x^2+2x^2=1+x^2. \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ \frac{(x-1)(x-6)}{x^2+1} + \frac{(x-1)(x-6)}{x^2+1} =0 \]
\[ \frac{2(x-1)(x-6)}{x^2+1}=0 \]
Так как \(x^2+1>0\), числитель должен быть равен нулю:
\[ (x-1)(x-6)=0 \]
\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=6 \]
Оба корня подходят.
Проверка: найденные \(c=\dfrac{10}{3}\), \(d=\dfrac12\), \(x=1\), \(x=6\) не обращают знаменатели в нуль. В остальных случаях единственный возможный корень оказывался запрещён ОДЗ или получалось противоречие.
Отдельного условия для системы уравнений на фото нет, поэтому именно ту систему, которую требует учитель, по этим данным составить нельзя: не хватает её условия. Пришли текст или фото этой части — я составлю систему и решу её.
Обсуждение
2 сообщенияРешить нужно было чтобы справа было 0 то есть перенести все в одну часть и еще в конце написать систему уравнения и решить ее
Я понял: нужно оформить через перенос всего в левую часть, затем записать систему «числитель \(=0\), знаменатель \(\ne0\)» и решить её.
Общий переход:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0,\\ Q(x)\ne0. \end{cases} \]
а)
\[ \frac{c+2}{c(c-5)} -\frac{c-5}{2(c-5)(c+5)} -\frac{c+25}{2(c-5)(c+5)}=0 \]
\[ \frac{20-6c}{2c(c-5)(c+5)}=0 \]
\[ \begin{cases} 20-6c=0,\\ 2c(c-5)(c+5)\ne0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{10}{3}. \]
Это значение не обращает знаменатель в нуль.
Ответ: \(c=\dfrac{10}{3}\).
б)
\[ \frac{3y-1}{3(2y-1)} +\frac{1}{(2y-1)(2y+1)} -\frac{y}{2y+1}=0 \]
\[ \frac{4y+2}{3(2y-1)(2y+1)}=0 \]
\[ \begin{cases} 4y+2=0,\\ 3(2y-1)(2y+1)\ne0 \end{cases} \]
Из первой строки \(y=-\dfrac12\), но тогда \(2y+1=0\), то есть знаменатель обращается в нуль. Корень не подходит.
Ответ: корней нет.
в)
\[ \frac{4(d+9)}{5(d-3)(d+3)} +\frac{d+3}{5d(d-3)} -\frac{d-3}{d(d+3)}=0 \]
\[ \frac{72d-36}{5d(d-3)(d+3)}=0 \]
\[ \begin{cases} 72d-36=0,\\ 5d(d-3)(d+3)\ne0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad d=\frac12. \]
Ответ: \(d=\dfrac12\).
г)
\[ \frac{1}{4x-6} +\frac{2x-5}{18-8x^2} -\frac{1}{2x^2+3x}=0 \]
\[ \frac{4x+6}{2x(2x-3)(2x+3)}=0 \]
\[ \begin{cases} 4x+6=0,\\ 2x(2x-3)(2x+3)\ne0 \end{cases} \]
Первое уравнение даёт \(x=-\dfrac32\), но при этом \(2x+3=0\), значит знаменатель равен нулю. Корень не подходит.
Ответ: корней нет.
Нижнее 1-е уравнение
\[ \frac{3x^2-6x+6301}{x^2-27x+11} -\frac{2x^2+21x+6290}{x^2-27x+11}=0 \]
\[ \frac{x^2-27x+11}{x^2-27x+11}=0 \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} x^2-27x+11=0,\\ x^2-27x+11\ne0. \end{cases} \]
Она противоречива: одно и то же выражение не может одновременно равняться нулю и быть не равным нулю. Значит, при допустимых \(x\) левая часть равна \(1\), а не \(0\).
Ответ: корней нет.
Нижнее 2-е уравнение
\[ \frac{x^2-7x+6}{x^2+1} +\frac{(x-1)(x-6)}{(1-x)(1+x)+2x^2}=0 \]
Так как
\[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6), \]
а
\[ (1-x)(1+x)+2x^2=1-x^2+2x^2=x^2+1, \]
уравнение принимает вид:
\[ \frac{2(x-1)(x-6)}{x^2+1}=0. \]
\[ \begin{cases} 2(x-1)(x-6)=0,\\ x^2+1\ne0. \end{cases} \]
Второе условие выполняется при всех \(x\), поэтому:
\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=6. \]
Ответ: \(x=1;\ x=6\).
Итог:
- а) \(c=\dfrac{10}{3}\);
- б) корней нет;
- в) \(d=\dfrac12\);
- г) корней нет;
- нижнее 1-е: корней нет;
- нижнее 2-е: \(x=1,\ x=6\).
