Реши с объяснением
Сверь числа и знаки с фото.
176 Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях: а) 11 букв; б) 12 букв; в) 15 букв; г) 20 букв? 177 В лотерее разыгрывается несколько выигрышных номеров из общего количества номеров. Сколько всего существует комбинаций выигрышных номеров, если: а) разыгрываются 5 номеров из 36; б) разыгрываются 6 номеров из 49?
Кратко
- №176: а) \(330\); б) \(495\); в) \(1365\); г) \(4845\).
- №177: а) \(376\,992\); б) \(13\,983\,816\).
№176
В последовательности длины \(n\) нужно выбрать 4 места для буквы У. Остальные места автоматически займут буквы Н. Поэтому число последовательностей:
\[ N=\binom{n}{4}=\frac{n!}{4!(n-4)!}. \]
Это же можно объяснить так: всего перестановок \(n!\), но 4 буквы У одинаковы, поэтому делим на \(4!\), а одинаковые буквы Н — ещё на \((n-4)!\).
Вычисляем:
\[ \binom{11}{4}=330, \]
\[ \binom{12}{4}=495, \]
\[ \binom{15}{4}=1365, \]
\[ \binom{20}{4}=4845. \]
Ответ:
а) \(330\); б) \(495\); в) \(1365\); г) \(4845\).
№177
В лотерее порядок выигрышных номеров не важен, а номера не повторяются. Значит, считаем сочетания:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
а) Выбираем 5 номеров из 36:
\[ \binom{36}{5}=\frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=376\,992. \]
б) Выбираем 6 номеров из 49:
\[ \binom{49}{6}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=13\,983\,816. \]
Ответ:
а) \(376\,992\) комбинации; б) \(13\,983\,816\) комбинаций.
Обсуждение
2 сообщенияРеши более подробно
Ниже — подробный разбор. Ответы остаются прежними.
№ 176
Пусть в последовательности всего \(n\) мест, из них ровно 4 места заняты буквой У, а остальные \(n-4\) мест — буквой Н.
Последовательность полностью определяется тем, на каких четырёх местах стоят буквы У. Поэтому число таких последовательностей:
\[ C_n^4=\binom{n}{4}=\frac{n!}{4!(n-4)!}. \]
После сокращения факториалов:
\[ \binom{n}{4} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}. \]
а) \(n=11\)
\[ \binom{11}{4} =\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{24}. \]
Сокращаем \(8\) и \(24\):
\[ =\frac{11\cdot10\cdot9}{3} =11\cdot10\cdot3 =330. \]
б) \(n=12\)
\[ \binom{12}{4} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{24}. \]
Так как \(\frac{12}{24}=\frac12\):
\[ =\frac{11\cdot10\cdot9}{2} =495. \]
в) \(n=15\)
\[ \binom{15}{4} =\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{24}. \]
Сокращаем \(\frac{12}{24}=\frac12\):
\[ =\frac{15\cdot14\cdot13}{2} =15\cdot7\cdot13 =1365. \]
г) \(n=20\)
\[ \binom{20}{4} =\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{24}. \]
Так как \(\frac{20\cdot18}{24}=15\):
\[ =15\cdot19\cdot17 =15\cdot323 =4845. \]
Ответ № 176:
а) \(330\); б) \(495\); в) \(1365\); г) \(4845\).
№ 177
Здесь порядок выпавших номеров не важен: например, набор \(\{1,2,3,4,5\}\) — это та же выигрышная комбинация, что и \(\{5,4,3,2,1\}\). Поэтому считаем не размещения, а сочетания:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
а) 5 номеров из 36
\[ \binom{36}{5} =\frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}. \]
Знаменатель:
\[ 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120. \]
Сокращаем:
\[ \frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32}{120} =36\cdot7\cdot34\cdot11\cdot4. \]
Считаем:
\[ 36\cdot7=252,\qquad 34\cdot11=374, \]
\[ 252\cdot374=94\,248, \]
\[ 94\,248\cdot4=376\,992. \]
Значит,
\[ \binom{36}{5}=376\,992. \]
б) 6 номеров из 49
\[ \binom{49}{6} =\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}. \]
Так как
\[ 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720, \]
получаем:
\[ \binom{49}{6} =\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{720}. \]
Сокращаем:
\[ \frac{48}{6}=8,\qquad \frac{45}{5}=9,\qquad \frac{44}{4}=11,\qquad \frac{46}{2}=23, \]
а оставшуюся \(3\) сокращаем с \(9\):
\[ \binom{49}{6} =49\cdot8\cdot47\cdot23\cdot3\cdot11. \]
Считаем:
\[ 49\cdot8=392, \]
\[ 47\cdot23=1081, \]
\[ 392\cdot1081=423\,752, \]
\[ 423\,752\cdot33=13\,983\,816. \]
Значит,
\[ \binom{49}{6}=13\,983\,816. \]
Ответ № 177:
а) \(376\,992\) комбинации;
б) \(13\,983\,816\) комбинаций.
Главная идея обеих задач: когда важен только состав или набор мест, а не порядок их перечисления, используем сочетания \(\binom{n}{k}\), а не размещения.
