докажи свойство вертикальных углов

Короткий ответ: вертикальные углы равны.

Пусть прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Докажем, что вертикальные углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) равны.

1. Углы \(\angle AOC\) и \(\angle AOD\) — смежные: лучи \(OC\) и \(OD\) противоположны, поэтому вместе они образуют развёрнутый угол. Значит, \[ \angle AOC+\angle AOD=180^\circ. \]

2. Углы \(\angle BOD\) и \(\angle AOD\) тоже смежные: лучи \(OB\) и \(OA\) противоположны. Поэтому \[ \angle BOD+\angle AOD=180^\circ. \]

3. Правые части равны, значит, \[ \angle AOC+\angle AOD=\angle BOD+\angle AOD. \]

Вычтем из обеих частей \(\angle AOD\): \[ \angle AOC=\angle BOD. \]

Точно так же доказывается равенство второй пары вертикальных углов: \(\angle AOD=\angle BOC\).

Главная идея: каждый из вертикальных углов дополняет один и тот же соседний угол до \(180^\circ\), поэтому они равны.

Проверка: если один угол равен \(40^\circ\), то смежный с ним — \(140^\circ\), а вертикальный к первому — снова \(40^\circ\). Всё согласуется.