112. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = -3x + 1; б) y = 5 + 2x; в) y = -3/x; г) y = 1/(2x); д) y = -x²; е) y = -x³.

Кратко

На фото несколько номеров; полностью виден и не перекрыт зажимом № 112 — его и разбираю. Все шесть функций строятся по 2–3 контрольным точкам, а свойства читаются по виду формулы.

Принцип: как быстро строить и описывать

1. \(y=kx+b\) — прямая: две точки, например \((0;\,b)\) и \((1;\,k+b)\). Знак \(k\): \(k>0\) — возрастает, \(k<0\) — убывает. Область определения и значений — все числа, если нет деления на ноль.
2. \(y=\dfrac{k}{x}\) — гипербола из двух ветвей: всегда проходит через \((1;\,k)\) и \((-1;\,-k)\). \(x\ne 0\), \(y\ne 0\), функция нечётная.
3. \(y=kx^{2}\) — парабола с вершиной в начале координат; \(y=kx^{3}\) — кубическая парабола через начало координат.

№ 112

а) \(y=-3x+1\). Прямая через \((0;\,1)\) и \((1;\,-2)\). \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=\mathbb{R}\); убывает на \(\mathbb{R}\) (\(k=-3<0\)); нуль \(x=\frac{1}{3}\); \(y>0\) при \(x<\frac{1}{3}\), \(y<0\) при \(x>\frac{1}{3}\); ни чётная, ни нечётная; не ограничена, наибольшего и наименьшего значений нет.

б) \(y=5+2x\). Прямая через \((0;\,5)\) и \((-2{,}5;\,0)\). \(D(y)=E(y)=\mathbb{R}\); возрастает на \(\mathbb{R}\); нуль \(x=-2{,}5\); \(y>0\) при \(x>-2{,}5\); не ограничена.

в) \(y=-\dfrac{3}{x}\). Гипербола, ветви во II и IV четвертях; точки \((1;\,-3)\), \((-1;\,3)\), \((3;\,-1)\). \(D(y):x\ne 0\), \(E(y):y\ne 0\); возрастает на \((-\infty;\,0)\) и на \((0;\,+\infty)\); нулей нет; \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\); нечётная; не ограничена.

г) \(y=\dfrac{1}{2x}\). Гипербола, ветви в I и III четвертях; точки \((1;\,0{,}5)\), \((0{,}5;\,1)\), \((-1;\,-0{,}5)\). \(D(y):x\ne 0\), \(E(y):y\ne 0\); убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\,0)\) и \((0;\,+\infty)\); нечётная; нулей нет.

д) \(y=-x^{2}\). Парабола, ветви вниз, вершина \((0;\,0)\); точки \((1;\,-1)\), \((-1;\,-1)\), \((2;\,-4)\). \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(-\infty;\,0]\); возрастает на \((-\infty;\,0]\), убывает на \([0;\,+\infty)\); \(y_{\text{наиб}}=0\) при \(x=0\); нуль только \(x=0\); \(y<0\) при \(x\ne 0\); чётная.

е) \(y=-x^{3}\). Кубическая парабола через \((0;\,0)\), \((1;\,-1)\), \((-1;\,1)\), \((2;\,-8)\). \(D(y)=E(y)=\mathbb{R}\); убывает на \(\mathbb{R}\); нечётная; нуль \(x=0\); \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\); не ограничена.

Проверка

Подставь контрольную точку в формулу: для в) берём \((1;\,-3)\): \(-\frac{3}{1}=-3\) — верно; для д) берём \((2;\,-4)\): \(-2^{2}=-4\) — верно. Если точка «не подошла», значит, ошибка в вычислении координаты, а не в графике.

В номерах 113 и 114 пункты б) частично закрыты зажимом, поэтому их я не восстанавливаю по догадке — пришли более чёткий фрагмент.