1. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]? 2. Одно из чисел √53, √44, √40, √60 отмечено на прямой точкой D.
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Домашнее задание 09.11.2026 Шафеева Алёна © school-pro.ru - подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике
- Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?
- \(\sqrt{15}\); 2) \(\sqrt{23}\); 3) \(\sqrt{30}\); 4) \(\sqrt{38}\).
- Одно из чисел \(\sqrt{53}\), \(\sqrt{44}\), \(\sqrt{40}\), \(\sqrt{60}\) отмечено на прямой точкой \(D\). [Рисунок: координатная прямая со штрихами 6, 7, 8; красная точка \(D\) между 7 и 8, ближе к 7] Какое это число?
- \(\sqrt{53}\); 2) \(\sqrt{44}\); 3) \(\sqrt{40}\); 4) \(\sqrt{60}\).
Найдите значение выражения \((\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)\).
Какое из следующих чисел заключено между числами \(3\sqrt{3}\) и \(6\sqrt{2}\)?
- 4 2) 9 3) 2 4) 7
Вычислите: \(\sqrt{3^{2}\cdot 5^{6}}\).
Вычислите: \(\frac{\sqrt{108}}{6\sqrt{3}}\).
Найдите значение выражения \((\sqrt{10}-6)(\sqrt{10}+6)\).
Между какими целыми числами заключено число \(\sqrt{67}\)?
- [6; 7]; 2) [7; 8]; 3) [8; 9]; 4) [9; 10].
Найдите значение выражения \(\frac{16}{(2\sqrt{10})^{2}}\).
Вычислите: \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}\).
Вычислите: \((\sqrt{147}-\sqrt{48})\cdot 8\sqrt{3}\).
На координатной прямой отмечены точки \(A\), \(P\), \(S\), \(H\). Одна из них соответствует числу \(\sqrt{27}\). Какая это точка? [Рисунок: координатная прямая со штрихами 4, 5, 6; красные точки: \(A\) сразу правее 4, \(P\) между \(A\) и 5, \(S\) сразу правее 5, \(H\) между \(S\) и 6]
- \(A\); 2) \(P\); 3) \(S\); 4) \(H\).
Вычислите: \(\sqrt{6\cdot 75}\cdot\sqrt{18}\).
Вычислите: \(\sqrt{3^{4}}\).
Вычислите: \(\frac{4}{3}\sqrt{147}\cdot\sqrt{3}\).
Найдите значение выражения \(2\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{26}\cdot\sqrt{2}\).
Краткие ответы
- \(\sqrt{38}\)
- \(\sqrt{53}\)
- \(1\)
- \(7\)
- \(375\)
- \(1\)
- \(-26\)
- \([8;9]\)
- \(0{,}4\) (или \(\frac25\))
- \(0{,}2\) (или \(\frac15\))
- \(72\)
- \(S\)
- \(90\)
- \(9\)
- \(28\)
- \(104\)
Как это устроено: четыре приёма
Приём 1. Оценка корня — сравниваем квадраты
Для положительных чисел: \(a<\sqrt{n}<b \iff a^{2}<n<b^{2}\). Поэтому корень «прячется» между целыми числами так же, как его подкоренное число — между их квадратами: \(36,49,64,81\) — это квадраты 6, 7, 8, 9.
№ 1. Нужно \(36\le n\le 49\). Из 15, 23, 30, 38 подходит только 38, значит ответ 4) \(\sqrt{38}\approx6{,}16\).
№ 2. \(7^{2}=49\), \(8^{2}=64\). Между 7 и 8 лежат и \(\sqrt{53}\), и \(\sqrt{60}\). Решает положение точки: \(D\) стоит почти сразу после 7, то есть число ближе к 7. \(\sqrt{53}\approx7{,}28\), а \(\sqrt{60}\approx7{,}75\). Ответ 1) \(\sqrt{53}\).
№ 8. \(8^{2}=64<67<81=9^{2}\), поэтому \(8<\sqrt{67}<9\) — ответ 3) \([8;9]\).
№ 12. \(5^{2}=25<27<36=6^{2}\), значит \(5<\sqrt{27}<6\). Число 27 ближе к 25, поэтому \(\sqrt{27}\approx5{,}2\) — чуть правее 5, это точка \(S\). Ответ 3).
Приём 2. Разность квадратов
\[ (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},\qquad (\sqrt{n})^{2}=n \]
№ 3. \((\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)=17-16=1\).
№ 7. \((\sqrt{10}-6)(\sqrt{10}+6)=10-36=-26\).
Удобство в том, что корень исчезает: скобки специально подобраны так, чтобы получилось целое число.
Приём 3. Свойства корней
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{a^{2}}=a\ (a\ge0),\qquad \sqrt{a^{2k}}=a^{k} \]
№ 5. \(\sqrt{3^{2}\cdot5^{6}}=\sqrt{3^{2}}\cdot\sqrt{(5^{3})^{2}}=3\cdot125=375\).
№ 6. Выделяем полный квадрат: \(\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3\), тогда \(\dfrac{6\sqrt3}{6\sqrt3}=1\).
№ 13. \(\sqrt{6\cdot75}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{6\cdot75\cdot18}=\sqrt{8100}=90\).
№ 14. \(\sqrt{3^{4}}=3^{2}=9\).
№ 15. \(\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot3}=7\sqrt3\), тогда \(\dfrac43\cdot7\sqrt3\cdot\sqrt3=\dfrac43\cdot7\cdot3=28\).
№ 16. \(2\cdot2\cdot\sqrt{13\cdot26\cdot2}=4\sqrt{676}=4\cdot26=104\).
Приём 4. Дроби и корни в знаменателе
№ 9. Сначала знаменатель: \((2\sqrt{10})^{2}=4\cdot10=40\), затем \(\dfrac{16}{40}=0{,}4\).
№ 10. \(\sqrt{10}\cdot\sqrt5=\sqrt{50}\), поэтому \(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{50}}=\sqrt{\dfrac{2}{50}}=\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac15=0{,}2\).
№ 4 — сравнение без калькулятора
Вносим множитель под корень: \(3\sqrt3=\sqrt{27}\approx5{,}2\); \(6\sqrt2=\sqrt{72}\approx8{,}5\). Из чисел 4, 9, 2, 7 в промежуток попадает только 7. Ответ 4).
Проверка
- № 5: \(375^{2}=140625=9\cdot15625=3^{2}\cdot5^{6}\) — верно.
- № 16: \(104^{2}=10816=16\cdot676\) — верно.
- № 11: \(3\sqrt3\cdot8\sqrt3=24\cdot3=72\), корни перемножились в целое число — верно.
Общий ориентир: почти все задания сводятся к тому, чтобы «увидеть» под корнем квадрат (полный или после разложения на множители) либо избавиться от корня по формуле разности квадратов.
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни номер 4
Номер 4
Ответ: 4) \(7\).
Нужно найти число, которое заключено между \(3\sqrt{3}\) и \(6\sqrt{2}\).
Способ 1. Внести множитель под корень
Правило: \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}\) при \(a>0\).
\[ 3\sqrt{3}=\sqrt{3^{2}\cdot3}=\sqrt{27} \] \[ 6\sqrt{2}=\sqrt{6^{2}\cdot2}=\sqrt{72} \]
Теперь оцениваем каждый корень по соседним квадратам:
\[ 25<27<36 \Rightarrow 5<\sqrt{27}<6 \] \[ 64<72<81 \Rightarrow 8<\sqrt{72}<9 \]
Значит, искомое число лежит примерно между \(5{,}2\) и \(8{,}5\). Из вариантов 4, 9, 2, 7 в этот промежуток попадает только 7.
Способ 2. Прямая проверка варианта (быстрее на контрольной)
Проверяем двойное неравенство \(3\sqrt{3}<7<6\sqrt{2}\), возводя всё в квадрат (все числа положительные, знак не меняется):
- слева: \(27<49\) — верно;
- справа: \(49<72\) — верно.
Оба неравенства выполняются, значит 7 действительно между ними.
Почему остальные не подходят
- \(4\): \(4^{2}=16<27\), то есть \(4<3\sqrt{3}\) — число лежит левее промежутка.
- \(2\): тем более меньше \(3\sqrt{3}\).
- \(9\): \(9^{2}=81>72\), то есть \(9>6\sqrt{2}\) — правее промежутка.
Что здесь главное
Корень сам по себе сравнивать неудобно, поэтому мы либо «загоняем» множитель под корень и сравниваем подкоренные числа, либо возводим в квадрат обе части неравенства. Второй приём особенно удобен, когда в ответах даны конкретные числа: достаточно проверить одно-два неравенства, а не оценивать оба корня.
11 номер реши
Номер 11
\[ (\sqrt{147}-\sqrt{48})\cdot 8\sqrt{3}=72 \]
Шаг 1. Выделяем полные квадраты под корнями
Раскладываем подкоренные числа на множители так, чтобы один из них был квадратом:
\[ 147=49\cdot 3=7^{2}\cdot 3 \] \[ 48=16\cdot 3=4^{2}\cdot 3 \]
По свойству \(\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}\):
\[ \sqrt{147}=7\sqrt{3},\qquad \sqrt{48}=4\sqrt{3} \]
Шаг 2. Приводим подобные слагаемые
Теперь у обоих корней одинаковое «яблоко» \(\sqrt{3}\), поэтому их можно вычитать:
\[ \sqrt{147}-\sqrt{48}=7\sqrt{3}-4\sqrt{3}=3\sqrt{3} \]
Шаг 3. Умножаем
\[ 3\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=(3\cdot 8)\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})=24\cdot 3=72 \]
Здесь сработало правило \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\), то есть \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\).
Второй способ — раскрыть скобки
Иногда так даже быстрее:
\[ \sqrt{147}\cdot 8\sqrt{3}-\sqrt{48}\cdot 8\sqrt{3} \] \[ =8\sqrt{147\cdot 3}-8\sqrt{48\cdot 3} \] \[ =8\sqrt{441}-8\sqrt{144}=8\cdot 21-8\cdot 12=168-96=72 \]
Типичная ошибка
Нельзя писать \(\sqrt{147}-\sqrt{48}=\sqrt{147-48}=\sqrt{99}\). Так делать нельзя: корень из разности не равен разности корней. Вычитать корни можно только тогда, когда под ними стоит одно и то же число, — именно поэтому сначала выделяют \(\sqrt{3}\).
Ответ: \(72\).
