112. Постройте график функции и опишите её свойства:

На фото полностью читается №112 — разбираю его.

Коротко:
а), б) — прямые; а) убывает, б) возрастает.
в), г) — гиперболы: в) занимает II и IV четверти и возрастает на каждой ветви; г) — I и III четверти и убывает на каждой ветви.
д) — парабола ветвями вниз с максимумом \(0\) при \(x=0\).
е) — кубическая парабола, убывает на всей области определения.

Общий принцип. Сначала определяем тип функции по формуле, затем отмечаем характерные точки. Для прямой хватает двух точек, для параболы — вершины и симметричных точек, для гиперболы — нескольких точек и асимптот.

Подробно по пунктам

а) \(y=-3x+1\)

• Прямая. Точки для построения: \((0;1)\) и \((1;-2)\); нуль — \(\left(\frac13;0\right)\).
• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=\mathbb{R}\).
• Убывает на \(\mathbb{R}\), так как коэффициент при \(x\) равен \(-3<0\).
• Нуль: \(x=\frac13\). При \(x<\frac13\) имеем \(y>0\), при \(x>\frac13\) — \(y<0\).
• Функция общего вида, не чётная и не нечётная; экстремумов нет; не ограничена.

б) \(y=5+2x=2x+5\)

• Прямая. Точки: \((0;5)\) и \((-2{,}5;0)\).
• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=\mathbb{R}\).
• Возрастает на \(\mathbb{R}\), так как \(k=2>0\).
• Нуль: \(x=-2{,}5\). При \(x<-2{,}5\) имеем \(y<0\), при \(x>-2{,}5\) — \(y>0\).
• Не чётная и не нечётная; экстремумов нет; не ограничена.

в) \(y=-\frac{3}{x}\)

• Гипербола; ветви во II и IV четвертях. Точки: \((-3;1)\), \((-1;3)\), \((1;-3)\), \((3;-1)\).
• \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Асимптоты — оси координат: \(x=0\) и \(y=0\). В точке \(x=0\) функция не определена.
• Возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\); на всей области определения монотонной не является.
• Нулей нет; \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\). Нечётная; экстремумов нет; не ограничена.

г) \(y=\frac{1}{2x}\)

• Гипербола; ветви в I и III четвертях. Точки: \((-2;-\frac14)\), \((-1;-\frac12)\), \((1;\frac12)\), \((2;\frac14)\).
• \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Асимптоты \(x=0\), \(y=0\).
• Убывает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
• Нулей нет; \(y<0\) при \(x<0\), \(y>0\) при \(x>0\). Нечётная; экстремумов нет; не ограничена.

д) \(y=-x^2\)

• Парабола ветвями вниз; вершина \((0;0)\), ось симметрии — ось \(y\). Точки: \((-2;-4)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-4)\).
• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(-\infty;0]\).
• Возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
• Нуль: \(x=0\); \(y<0\) при \(x\ne0\).
• Чётная. Наибольшее значение \(y=0\) при \(x=0\); наименьшего нет. Ограничена сверху, снизу не ограничена.

е) \(y=-x^3\)

• Кубическая парабола, симметричная началу координат. Точки: \((-2;8)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-8)\).
• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=\mathbb{R}\).
• Убывает на \(\mathbb{R}\).
• Нуль: \(x=0\); \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\).
• Нечётная; экстремумов нет; не ограничена.

Проверка: у прямых знак коэффициента \(k\) сразу показывает возрастание или убывание; у гипербол знак \(k\) определяет четверти; у \(y=-x^2\) коэффициент при квадрате отрицателен, поэтому ветви направлены вниз; график \(y=-x^3\) получается из \(y=x^3\) отражением относительно оси \(x\), поэтому он убывает.