Вариант 1 1. Трапеция ABCD (AB ∥ CD) лежит в плоскости α, AB = 8 см. Вне плоскости α выбрали точку M и на отрезке AM отметили такую точку K, что AK : KM = 3 : 1 (рис. 17).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
- Трапеция ABCD (AB ∥ CD) лежит в плоскости α, AB = 8 см. Вне плоскости α выбрали точку M и на отрезке AM отметили такую точку K, что AK : KM = 3 : 1 (рис. 17). Постройте точку F пересечения плоскости DKC с прямой MB и найдите длину отрезка KF.
- На ребре CC₁ призмы ABCA₁B₁C₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 1 : 3. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане BM треугольника ABC и проходящей через точки A₁ и K. В каком отношении эта плоскость делит ребро BB₁?
- Трапеция ABCD является основанием пирамиды SABCD (AD ∥ BC). Известно, что BC : AD = 1 : 3. Точки E и F — середины рёбер SD и SC соответственно. В каком отношении плоскость AEF делит ребро SB? Вариант 2
- Вне плоскости параллелограмма ABCD выбрали точку E. На отрезке BE отметили точку F так, что BF : FE = 4 : 1 (рис. 18). Постройте точку M пересечения плоскости AFD и прямой CE и найдите длину отрезка FM, если BC = 10 см.
- На ребре AA₁ призмы ABCA₁B₁C₁ отметили точку M так, что AM : MA₁ = 1 : 4. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане CD треугольника ABC и проходящей через точки B и M. В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁?
- Трапеция ABCD является основанием пирамиды SABCD (AD ∥ BC). Известно, что BC : AD = 1 : 4. Точки M и K — середины рёбер SA и SB соответственно. В каком отношении плоскость DMK делит ребро SC? [Рисунки 17–20: схемы к пространственным задачам.]
На фото два варианта по три задачи. Номер не указан, поэтому ниже — решения всех шести; выбери свой вариант.
Короткие ответы
| Задача | Ответ |
|---|---|
| В1 №1 | \(KF=2\) см |
| В1 №2 | сечение \(A_1KL\); \(BL:LB_1=5:3\) |
| В1 №3 | \(SP:PB=3:2\) |
| В2 №1 | \(FM=2\) см |
| В2 №2 | сечение \(BML\); \(CL:LC_1=1:9\) |
| В2 №3 | \(SN:NC=4:3\) |
Главный приём: если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна этой прямой. Дальше работают подобие треугольников и теорема Менелая.
Вариант 1
1. Трапеция и точка \(F\)
Плоскость \(DKC\) содержит \(DC\), а \(DC\parallel AB\). Поэтому её пересечение с плоскостью \(ABM\) — прямая через \(K\), параллельная \(AB\). Значит, \(F\) — пересечение этой прямой с \(MB\).
В треугольнике \(MAB\): \[ KF\parallel AB,\qquad \frac{MK}{MA}=\frac{1}{4}. \] Треугольники \(MKF\) и \(MAB\) подобны, поэтому \[ KF=AB\cdot \frac{MK}{MA}=8\cdot \frac14=2\text{ см}. \]
Построение: через \(K\) провести прямую, параллельную \(AB\); её пересечение с \(MB\) — точка \(F\).
2. Сечение призмы
Пусть секущая плоскость — \(\beta\), а \(L=\beta\cap BB_1\). Строим сечение так:
- Прямая \(A_1K\) пересекает продолжение \(AC\) за \(C\) в точке \(P\).
- Через \(P\) проводим прямую, параллельную \(BM\); она пересекает продолжение \(AB\) за \(B\) в точке \(Q\).
- \(A_1Q\cap BB_1=L\).
Сечение — треугольник \(A_1KL\).
Найдём отношение: \[ \triangle PCK\sim \triangle PAA_1,\qquad \frac{PC}{PA}=\frac{CK}{AA_1}=\frac14. \] Отсюда \(PC=\frac13 AC\), \(PA=\frac43 AC\). Так как \(M\) — середина \(AC\), \(AM=\frac12 AC\). Из подобия \(\triangle ABM\sim \triangle AQP\): \[ \frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AM}=\frac{4/3}{1/2}=\frac83. \] Значит, \[ \frac{QB}{QA}=\frac{8/3-1}{8/3}=\frac58. \] В грани \(ABB_1A_1\) треугольники \(QBL\) и \(QAA_1\) подобны, поэтому \[ \frac{BL}{AA_1}=\frac{QB}{QA}=\frac58. \] Следовательно, \[ BL:LB_1=5:3. \]
3. Пирамида, плоскость \(AEF\)
Так как \(E,F\) — середины \(SD,SC\), то \(EF\parallel DC\). Поэтому след плоскости \(AEF\) на основании — прямая через \(A\), параллельная \(DC\). Пусть она пересекает прямую \(BC\) в \(Q\).
Четырёхугольник \(ADCQ\) — параллелограмм, поэтому \[ CQ=AD=3BC,\qquad BQ=CQ-BC=2BC. \] То есть \[ CQ:QB=3:2. \]
В треугольнике \(SBC\) точки \(P,F,Q\) лежат на одной прямой, где \(P=\beta\cap SB\). По теореме Менелая: \[ \frac{BP}{PS}\cdot\frac{SF}{FC}\cdot\frac{CQ}{QB}=1. \] Так как \(SF=FC\), \[ \frac{BP}{PS}\cdot\frac32=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{BP}{PS}=\frac23. \] Значит, \[ SP:PB=3:2. \]
Вариант 2
1. Параллелограмм и точка \(M\)
Плоскость \(AFD\) содержит \(AD\), а \(AD\parallel BC\). Поэтому линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(BCE\) проходит через \(F\) параллельно \(BC\). Значит, \(M\) — пересечение прямой через \(F\), параллельной \(BC\), с \(CE\).
В треугольнике \(EBC\): \[ FM\parallel BC,\qquad \frac{EF}{EB}=\frac{1}{5}. \] Треугольники \(EFM\) и \(EBC\) подобны, поэтому \[ FM=BC\cdot \frac{EF}{EB}=10\cdot \frac15=2\text{ см}. \]
Построение: через \(F\) провести прямую, параллельную \(BC\); её пересечение с \(CE\) — точка \(M\).
2. Сечение призмы
Пусть \(L=\beta\cap CC_1\). Строим сечение:
- Через \(B\) проводим прямую, параллельную медиане \(CD\); она пересекает продолжение \(AC\) за \(C\) в точке \(P\).
- Проводим \(PM\); \(PM\cap CC_1=L\).
- Сечение — треугольник \(BML\).
Найдём отношение. В треугольнике \(ABC\) \(D\) — середина \(AB\), и \(CD\parallel BP\). Поэтому \[ \triangle ACD\sim \triangle APB,\qquad \frac{AC}{AP}=\frac{AD}{AB}=\frac12. \] Значит, \(AP=2AC\), то есть \(PC=AC\).
Далее в грани \(AA_1C_1C\): \[ CL\parallel AM, \] поэтому \(\triangle PCL\sim \triangle PAM\). Следовательно, \[ \frac{CL}{AM}=\frac{PC}{PA}=\frac12. \] Но \(AM=\frac15 AA_1\), значит \[ CL=\frac12\cdot \frac15 AA_1=\frac1{10}CC_1. \] Отсюда \[ CL:LC_1=1:9. \]
3. Пирамида, плоскость \(DMK\)
В треугольнике \(SAB\) точки \(M,K\) — середины \(SA,SB\), поэтому \[ MK\parallel AB. \] Значит, след плоскости \(DMK\) на основании — прямая через \(D\), параллельная \(AB\). Пусть она пересекает продолжение \(BC\) за \(C\) в точке \(Q\).
Тогда \(ABQD\) — параллелограмм, поэтому \[ BQ=AD=4BC,\qquad CQ=BQ-BC=3BC. \] То есть \[ BQ:QC=4:3. \]
Пусть \(N=\beta\cap SC\). В треугольнике \(SBC\) точки \(K,N,Q\) лежат на одной прямой. По теореме Менелая: \[ \frac{SK}{KB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CN}{NS}=1. \] Так как \(SK=KB\), \[ 1\cdot \frac43\cdot\frac{CN}{NS}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{CN}{NS}=\frac34. \] Следовательно, \[ SN:NC=4:3. \]
Обсуждение
4 сообщенияПокажи, как строить след секущей плоскости
След секущей плоскости — это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью основания (или другой выбранной плоскостью). След нужен, чтобы «зацепиться» за основание и найти точки пересечения сечения с рёбрами.
Два правила, на которых всё держится
- Пересечение. Если прямая \(l\) лежит в секущей плоскости \(\beta\) и пересекает плоскость основания \(\alpha\) в точке \(X\), то \(X\) принадлежит следу.
- Параллельность. Если \(l\subset\beta\) и \(l\parallel\alpha\), то след \(\beta\cap\alpha\) параллелен \(l\).
Алгоритм
- Найди точки сечения, которые уже лежат в плоскости основания. Если их две — след готов: соединяй.
- Если такая точка одна, найди вторую: возьми удобную прямую сечения, продли её до пересечения с какой-нибудь прямой основания, лежащей с ней в одной грани. Точка пересечения — вторая точка следа.
- Если прямая сечения параллельна основанию, вторую точку искать не нужно: через имеющуюся точку проведи след параллельно этой прямой.
- Продли след до пересечения с продолжениями рёбер основания. Эти точки — опорные для построения сечения.
Пример 1: через параллельность
Пирамида \(SABCD\), \(E\) и \(F\) — середины \(SD\) и \(SC\), плоскость \(AEF\).
- \(A\) уже лежит в основании — это первая точка следа.
- \(EF\) — средняя линия в \(\triangle SCD\), поэтому \(EF\parallel DC\), а \(DC\subset(ABCD)\).
- Значит, след плоскости \(AEF\) на основании проходит через \(A\) параллельно \(EF\) (или \(DC\)).
Проводим через \(A\) прямую, параллельную \(DC\). Пусть она пересекает \(BC\) в точке \(Q\). Теперь \(Q\in\beta\) и \(Q\in(ABCD)\).
Дальше \(F\in SC\subset(SBC)\), \(Q\in BC\subset(SBC)\), поэтому \(FQ\) — линия пересечения \(\beta\) и грани \(SBC\). Точка \(P=FQ\cap SB\) — недостающая вершина сечения. Сечение \(AEPF\) построено.
Пример 2: через пересечение
Тетраэдр \(SABC\), точки \(M\in SA\), \(N\in SB\), \(P\in SC\), плоскость \(MNP\).
- \(MN\subset(SAB)\), \(AB\subset(ABC)\). Продлеваем \(MN\) до пересечения с \(AB\): \(X=MN\cap AB\). Тогда \(X\in\beta\) и \(X\in(ABC)\).
- \(NP\subset(SBC)\), \(BC\subset(ABC)\). Продлеваем \(NP\) до \(BC\): \(Y=NP\cap BC\). Тогда \(Y\in\beta\cap(ABC)\).
- Прямая \(XY\) — след плоскости \(MNP\) на основании.
Что важно не перепутать
- След — это прямая, а не отрезок. На чертеже её продолжают до пересечения с продолжениями рёбер.
- Точки пересечения следа с рёбрами основания уже принадлежат сечению — через них удобно соединять точки на боковых рёбрах.
- Если одна точка следа есть, а параллельности нет, почти всегда помогает продлить прямую сечения до пересечения с прямой основания в подходящей грани.
Если хочешь, разберём построение следа ещё на одном примере — например, для призмы, где плоскость задана точкой на верхнем основании и двумя точками на боковых рёбрах.
Покажи, как строить след секущей плоскости
Повторю суть и разберу другой случай — призму, где плоскость задана точками на боковых рёбрах и на верхнем основании. Именно там след обычно и «застревает».
Что такое след
След секущей плоскости \(\beta\) — прямая \(\beta\cap\alpha\), где \(\alpha\) — плоскость основания. След даёт точки, через которые сечение выходит на рёбра основания, и по ним сечение достраивается.
Два рабочих правила
- Пересечение. Если прямая \(l\subset\beta\) пересекает плоскость основания в точке \(X\), то \(X\) лежит на следе.
- Параллельность. Если \(l\subset\beta\) и \(l\parallel\alpha\), то след параллелен \(l\).
Практически: продлевай прямые сечения до пересечения с прямыми основания, лежащими с ними в одной грани. Двух таких точек достаточно.
Пример: призма \(ABCA_1B_1C_1\)
Плоскость задана точками:
- \(M\in AA_1\),
- \(N\in BB_1\),
- \(K\in A_1C_1\).
Шаг 1. Первая точка следа. \(M\) и \(N\) лежат в грани \(ABB_1A_1\), значит \(MN\subset\beta\). Продлеваем \(MN\) до пересечения с прямой \(AB\subset(ABC)\): \[ X=MN\cap AB. \] Тогда \(X\in\beta\) и \(X\in(ABC)\), то есть \(X\) — точка следа.
Шаг 2. Вторая точка следа. \(M\) и \(K\) лежат в грани \(AA_1C_1C\), значит \(MK\subset\beta\). Продлеваем \(MK\) до пересечения с прямой \(AC\subset(ABC)\): \[ Y=MK\cap AC. \] Тогда \(Y\) — вторая точка следа.
Шаг 3. След. Прямая \(XY\) — искомый след плоскости \(MKN\) на основании.
Шаг 4. Проверка. Прямая \(NK\) лежит в грани \(BB_1C_1C\). Продли её до пересечения с \(BC\) — точка \(Z\) обязана попасть на прямую \(XY\). Если не попала, где-то ошибка в построении.
Шаг 5. Достраиваем сечение. След \(XY\) пересекает рёбра основания в точках, которые уже принадлежат сечению. Соединяем их с \(M,N,K\) внутри соответствующих граней — получаем многоугольник сечения.
Если параллельность вместо пересечения
Бывает, что \(MN\parallel AB\). Тогда \(X\) «уходит в бесконечность», искать его бессмысленно. Работаем так:
- через \(M\) (или \(N\)) проводим след параллельно \(MN\);
- вторую точку следа находим через другую пару точек, например \(MK\cap AC\);
- проверяем: полученная прямая должна быть параллельна \(MN\).
Частые ошибки
- Продлевают отрезок сечения до пересечения с ребром той же грани, а не с прямой основания, — точка получается «своя», не на следе.
- Считают, что след обязан пройти через вершину основания, — нет, он может пересекать продолжения рёбер.
- Останавливаются на одной точке следа, хотя параллельности нет, — нужны две.
Если скажешь, на каком конкретном чертеже не получается (какая фигура и где заданы точки), разберу построение именно для него.
