Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 2
Найдите координаты и длину вектора \(\vec{b}\), если \(\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{p} + \vec{q}\), где \(\vec{p}(4; -6; 2)\), \(\vec{q}(-2; 3; -4)\).
Напишите уравнение окружности с центром в точке \(A(1; -3)\), проходящей через точку \(B(4; 1)\).
Вершины треугольника \(DEF\) заданы координатами: \(D(-2; 3)\), \(E(1; 7)\), \(F(1; -1)\).
а) Докажите, что \(\triangle DEF\) — равнобедренный.
б) Найдите высоту, проведённую из вершины \(E\).
в*) Найдите координаты точки \(N\), лежащей на оси \(Ox\) и равноудалённой от точек \(M(2; 5)\) и \(K(-3; 1)\).
Краткий ответ
\[x_1=2,\qquad x_2=3\]
Сначала отмечу: на фото — геометрия, вариант 2 (векторы, окружность, треугольник), а уравнение \(x^2-5x+6=0\) записано в самом задании. Решаю его.
Как решать такие уравнения
Способ 1. Разложение на множители (быстро, если корни целые)
Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\): это \(2\) и \(3\). Значит,
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3\]
Способ 2. Теорема Виета (для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\)):
\[x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6\]
Подбираем корни: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\). Подходит пара \(2\) и \(3\).
Способ 3. Через дискриминант (работает всегда)
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\]
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}\]
\[x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2\]
Проверка
\[2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0\]
\[3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0\]
Оба корня подходят, ответ верный.
Принцип для похожих заданий: если корни целые, самый быстрый путь — Виета или разложение на множители; если подбор не идёт (корни дробные или с корнем), сразу считай дискриминант: при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.
