номер 217 (где)

217 — это блок «217. Решите уравнение:» с пунктами а)–з) в центральной части фото, рядом с задачей 216.

Краткие ответы

• а) \(y\in\{-\sqrt{6};\,0;\,\sqrt{6}\}\)
• б) \(x=0\)
• в) \(x\in\left\{0;\,\frac32;\,2\right\}\)
• г) \(x\in\left\{-\frac15;\,0;\,\frac12\right\}\)
• д) \(x\in\left\{-\frac13;\,\frac13;\,2\right\}\)
• е) \(y\in\{-4;\,0;\,1;\,4\}\)
• ж) \(p\in\{-1;\,1\}\), причём \(p=1\) — корень кратности 2
• з) \(x\in\{-1;\,0;\,1;\,3\}\)

Как решать Общий приём: перенести всё в одну часть, разложить на множители и приравнять каждый множитель к нулю. Если есть квадратная скобка — решить через дискриминант или разложение.

• а)
  \[ y^3-6y=y(y^2-6)=0 \] Отсюда \(y=0\) или \(y^2=6\), то есть \(y=\pm\sqrt6\).

• б)
  \[ 6x^4+3{,}6x^2=x^2(6x^2+3{,}6)=0 \] Вторая скобка всегда положительна, поэтому остаётся только \(x=0\).

• в)
  \[ x^3+3x=3{,}5x^2 \] После переноса: \[ x(2x^2-7x+6)=0 \] Квадратная скобка раскладывается: \[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2) \] Поэтому \(x=0\), \(x=\frac32\), \(x=2\).

• г)
  Умножим на 10: \[ 10x^3-3x^2-x=0 \] \[ x(10x^2-3x-1)=0 \] \[ 10x^2-3x-1=(2x-1)(5x+1) \] Корни: \(x=0\), \(x=\frac12\), \(x=-\frac15\).

• д)
  Группировка: \[ 9x^3-18x^2-x+2=(x-2)(9x^2-1) \] \[ =(x-2)(3x-1)(3x+1) \] Корни: \(x=2\), \(x=\frac13\), \(x=-\frac13\).

• е)
  \[ y^4-y^3-16y^2+16y =y(y-1)(y^2-16) \] \[ =y(y-1)(y-4)(y+4) \] Корни: \(0;\,1;\,4;\,-4\).

• ж)
  \[ p^3-p^2=p-1 \] \[ p^3-p^2-p+1=0 \] \[ (p-1)(p^2-1)=0 \] \[ (p-1)^2(p+1)=0 \] Значит, \(p=1\) и \(p=-1\).

• з)
  \[ x^4-x^2=3x^3-3x \] \[ x^4-3x^3-x^2+3x=0 \] \[ x(x-3)(x^2-1)=0 \] \[ x(x-3)(x-1)(x+1)=0 \] Корни: \(0;\,3;\,1;\,-1\).

Проверка: например, в пункте з) при \(x=3\):
левая часть \(3^4-3^2=81-9=72\),
правая часть \(3\cdot3^3-3\cdot3=81-9=72\).
Остальные корни также проверяются подстановкой.