1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) \(y=x^2;\ y=0;\ x=-1;\ x=3\) б) \(y=x^3;\ y=0;\ x=1;\ x=2\) в) \(y=\sin x;\ y=0;\ x=-\frac{\pi}{4};\ x=\frac{\pi}{2}\) г) \(y=\cos x;\ y=0;\ x=-\frac{\pi}{2};\ x=\frac{\pi}{6}\) д) \(y=x^2;\ y=0;\ x=-3;\ x=-2\) е) \(y=\sin x;\ y=0;\ x=-\frac{\pi}{2};\ x=\frac{\pi}{6}\) ж) \(y=\cos x;\ y=0;\ x=-\frac{\pi}{4};\ x=\frac{\pi}{6}\) з) \(y=x^3;\ y=0;\ x=-2;\ x=-1\)
Краткий ответ
| Пункт | Площадь \(S\) |
|---|---|
| а) | \(\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}\) |
| б) | \(\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\) |
| в) | \(2-\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| г) | \(\frac{3}{2}\) |
| д) | \(\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}\) |
| е) | \(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| ж) | \(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\) |
| з) | \(\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\) |
Принцип
Площадь между графиком \(y=f(x)\), осью \(y=0\) и вертикальными прямыми \(x=a\), \(x=b\) считают так:
\[ S=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]
Если график ниже оси \(Ox\), берут \(-f(x)\). Если график пересекает ось внутри отрезка, интеграл разбивают в точке пересечения: площади участков складывают, а не вычитают.
Вычисления по пунктам
а)
\[ S=\int_{-1}^{3}x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-1}^{3} =9-\left(-\frac13\right) =\frac{28}{3}. \]б)
\[ S=\int_{1}^{2}x^3\,dx =\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2} =4-\frac14 =\frac{15}{4}. \]в) \(\sin x\) меняет знак в точке \(0\), поэтому:
\[ S=\int_{-\pi/4}^{0}(-\sin x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx =\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)+1 =2-\frac{\sqrt2}{2}. \]г)
\[ S=\int_{-\pi/2}^{\pi/6}\cos x\,dx =\left.\sin x\right|_{-\pi/2}^{\pi/6} =\frac12-(-1) =\frac32. \]д)
\[ S=\int_{-3}^{-2}x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{-2} =-\frac83+9 =\frac{19}{3}. \]е)
\[ S=\int_{-\pi/2}^{0}(-\sin x)\,dx+\int_{0}^{\pi/6}\sin x\,dx =1+\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right) =2-\frac{\sqrt3}{2}. \]ж)
\[ S=\int_{-\pi/4}^{\pi/6}\cos x\,dx =\left.\sin x\right|_{-\pi/4}^{\pi/6} =\frac12+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{1+\sqrt2}{2}. \]з) график \(y=x^3\) на \([-2;-1]\) ниже оси \(Ox\):
\[ S=\int_{-2}^{-1}(0-x^3)\,dx =-\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-2}^{-1} =-\left(\frac14-4\right) =\frac{15}{4}. \]
Проверка: все площади получились положительными. В пунктах в) и е) без разбиения интеграл дал бы разность площадей, а не их сумму; в пункте з) поэтому брали \(0-x^3\).
