153. Упростите выражение:

Question

реши номер 153

Расшифровка фото нейросетью:
153. Упростите выражение:
а) $(a^{2}+2a+1)\cdot\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^{2}-1}-\frac{1}{a-1}\right)$;
б) $\left(1-\frac{9x^{2}+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)+1$;
в) $1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)\cdot\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)$;
г) $(y^{2}-4)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5$.

Answer

Ответ (для допустимых значений переменных):

а) $-\dfrac{a+1}{a-1}$, где $a\ne\pm1$;

б) $\dfrac{3x}{2}$, где $x\ne0,\ x\ne\dfrac23$;

в) $\dfrac{a}{a+2}$, где $a\ne\pm2$;

г) $y-5$, где $y\ne\pm2$.

Общий принцип: сначала раскладываем знаменатели на множители, затем приводим дроби к общему знаменателю. После этого сокращаем множители и отдельно записываем ограничения: знаменатели не должны обращаться в ноль.

а)

$$
a^2+2a+1=(a+1)^2,\qquad a^2-1=(a-1)(a+1)
$$

Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:

$$
\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}
=
\frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}
=
-\frac{1}{(a-1)(a+1)}
$$

Умножаем:

$$
(a+1)^2\cdot\left(-\frac{1}{(a-1)(a+1)}\right)
=
-\frac{a+1}{a-1}
$$

Ограничения: $a\ne1,\ a\ne-1$.

б)

Сначала первая скобка:

$$
1-\frac{9x^2+4}{12x}
=
\frac{12x-9x^2-4}{12x}
=
-\frac{(3x-2)^2}{12x}
$$

Вторая скобка:

$$
\frac{1}{3x}-\frac12
=
\frac{2-3x}{6x}
=
-\frac{3x-2}{6x}
$$

Делим:

$$
\left(-\frac{(3x-2)^2}{12x}\right):
\left(-\frac{3x-2}{6x}\right)
=
\frac{3x-2}{2}
$$

Прибавляем $1$:

$$
\frac{3x-2}{2}+1
=
\frac{3x-2+2}{2}
=
\frac{3x}{2}
$$

Ограничения: $x\ne0$ и $x\ne\dfrac23$, потому что при $x=\frac23$ вторая скобка равна нулю, а делить на неё нельзя.

в)

Сначала первая скобка:

$$
\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}
=
\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}
=
\frac{8}{a^2-4}
$$

Вторая скобка:

$$
a-\frac{3a+2}{4}
=
\frac{4a-3a-2}{4}
=
\frac{a-2}{4}
$$

Умножаем:

$$
\frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a-2}{4}
=
\frac{2}{a+2}
$$

Теперь вычитаем:

$$
1-\frac{2}{a+2}
=
\frac{a+2-2}{a+2}
=
\frac{a}{a+2}
$$

Ограничения: $a\ne2$ и $a\ne-2$.

г)

Раскладываем $y^2-4$:

$$
(y^2-4)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5
$$

В скобках общий знаменатель $(y-2)(y+2)$:

$$
\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y-2)(y+2)}
=
\frac{3y-6-2y-4}{(y-2)(y+2)}
=
\frac{y-10}{(y-2)(y+2)}
$$

Тогда всё выражение:

$$
(y-2)(y+2)\cdot\frac{y-10}{(y-2)(y+2)}+5
=
y-10+5
=
y-5
$$

Ограничения: $y\ne2$ и $y\ne-2$.

Проверка для пункта г): если $y=0$, то исходное выражение даёт
$$
-4\left(\frac32+1\right)+5=-10+5=-5,
$$
и $y-5=-5$. Совпадает.