152. Выполните действия: а) (a² − 25)/(a + 3) · 1/(a² + 5a) − (a + 5)/(a² − 3a)

Краткий ответ (с ограничениями):

• а) \(-\dfrac{16}{a^{2}-9}\), \(a\ne0,\ a\ne-5,\ a\ne\pm3\);
• б) \(\dfrac{6x-1}{4x^{2}-1}\), \(x\ne-3,\ x\ne\pm\dfrac{1}{2}\);
• в) \(-\dfrac{c}{a}\), \(a\ne0,\ a\ne c,\ a\ne\pm b\);
• г) \(\dfrac{2(a+y)}{a(x-3)}\), \(a\ne0,\ a\ne2,\ x\ne\pm3,\ y\ne0\).

Принцип. Сначала раскладываем числители и знаменатели на множители. При делении дробей деление заменяем умножением на обратную дробь. Затем приводим к общему знаменателю и сокращаем только множители, а не отдельные слагаемые. В конце проверяем, что знаменатели не обращаются в нуль.

а)
\[ \frac{a^{2}-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^{2}+5a} =\frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)} =\frac{a-5}{a(a+3)}. \] Вторая дробь: \(\frac{a+5}{a^{2}-3a}=\frac{a+5}{a(a-3)}\). Поэтому \[ \frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)} =\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} =\frac{-16a}{a(a^{2}-9)} =-\frac{16}{a^{2}-9}. \]

б) Сначала деление: \[ \frac{x^{2}+3x}{4x^{2}-1}:\frac{3+x}{4x+2} =\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3} =\frac{2x}{2x-1}. \] Теперь сложение: \[ \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1} =\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)} =\frac{6x-1}{4x^{2}-1}. \]

в)
\[ \frac{ab-b^{2}}{a^{2}-ac}\cdot\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}} =\frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} =\frac{b(a+c)}{a(a+b)}. \] Тогда \[ \frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)} =\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)} =\frac{-c(a+b)}{a(a+b)} =-\frac{c}{a}. \]

г)
\[ \frac{a^{2}-4}{x^{2}-9}:\frac{a^{2}-2a}{xy+3y} =\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{a(a-2)} =\frac{y(a+2)}{a(x-3)}. \] Затем \[ \frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3} =\frac{ya+2y+2a-ay}{a(x-3)} =\frac{2(a+y)}{a(x-3)}. \]

Проверка. Подстановка удобных чисел подтверждает результаты: в (а) при \(a=1\) обе части дают \(2\); в (б) при \(x=0\) — \(1\); в (в) при \(a=1,\ b=2,\ c=3\) — \(-3\); в (г) при \(a=1,\ x=1,\ y=1\) — \(-2\).