номер 12

Question

номер 12

Расшифровка фото нейросетью:
12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) $\frac{5y-8}{11}$;
б) $\frac{25}{y-9}$;
в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$;
г) $\frac{y-10}{y^2+3}$;
д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$;
е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$.

Answer

Кратко (задание 12):

пункт |
выражение |
допустимые значения |

а) |
$\frac{5y-8}{11}$ |
любое число |

б) |
$\frac{25}{y-9}$ |
$y \ne 9$ |

в) |
$\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ |
$y \ne 0,\ y \ne 2$ |

г) |
$\frac{y-10}{y^2+3}$ |
любое число |

д) |
$\frac{y}{y-6}+\frac{15}{y+6}$ |
$y \ne 6,\ y \ne -6$ |

е) |
$\frac{32}{y}-\frac{y+1}{y+7}$ |
$y \ne 0,\ y \ne -7$ |

Принцип. Допустимые значения — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Здесь встречается только деление, а делить на ноль нельзя. Поэтому правило одно: каждый знаменатель приравниваем к нулю, решаем уравнение и исключаем найденные корни. Числитель может быть любым, даже нулём.

Разбор по пунктам

а) В знаменателе стоит число 11, оно не равно нулю ни при каком $y$. Ограничений нет: $y$ — любое число.

б) $y-9 \ne 0 \Rightarrow y \ne 9$.

в) $y^2-2y \ne 0$. Вынесем общий множитель: $y(y-2)\ne 0$. Произведение не равно нулю, когда ни один множитель не равен нулю: $y \ne 0$ и $y \ne 2$.

г) $y^2+3 \ne 0$. Так как $y^2 \ge 0$, то $y^2+3 \ge 3 > 0$ — знаменатель никогда не обращается в ноль. Значит, $y$ — любое число.

д) Две дроби — два условия: $y-6 \ne 0$ и $y+6 \ne 0$, то есть $y \ne 6$ и $y \ne -6$.

е) Аналогично: $y \ne 0$ и $y+7 \ne 0$, то есть $y \ne 0$ и $y \ne -7$.

Проверка. Подставим «запрещённые» числа: при $y=2$ в пункте в) знаменатель $4-4=0$ — деление невозможно, значит, число исключено верно. При $y=0$ там же получаем $0$ — тоже исключено. А в пункте г) при $y=0$ знаменатель равен $3$, при $y=-10$ — $103$: выражение считается всегда, ограничений действительно нет.

пункт	выражение	допустимые значения
а)	\(\frac{5y-8}{11}\)	любое число
б)	\(\frac{25}{y-9}\)	\(y \ne 9\)
в)	\(\frac{y^2+1}{y^2-2y}\)	\(y \ne 0,\ y \ne 2\)
г)	\(\frac{y-10}{y^2+3}\)	любое число
д)	\(\frac{y}{y-6}+\frac{15}{y+6}\)	\(y \ne 6,\ y \ne -6\)
е)	\(\frac{32}{y}-\frac{y+1}{y+7}\)	\(y \ne 0,\ y \ne -7\)

номер 12

Обсуждение