№44
Сверь числа и знаки с фото.
44 Прямые OB и CD параллельны, а OA и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD, если: а) ∠AOB = 40°; б) ∠AOB = 135°; в) ∠AOB = 90°.
Краткий ответ:
а) \(40^\circ\); б) \(45^\circ\); в) \(90^\circ\).
Как рассуждать:
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Так как \(OB \parallel CD\), угол между \(OA\) и \(CD\) равен углу между прямыми \(OA\) и \(OB\).
Но угол между прямыми всегда выбирают не больше \(90^\circ\), то есть берут меньший из смежных углов:
\[ \alpha=\min\bigl(\angle AOB;\ 180^\circ-\angle AOB\bigr). \]
Отсюда:
- \(\angle AOB=40^\circ\) — уже острый, значит, \(\alpha=40^\circ\);
- \(\angle AOB=135^\circ\) — тупой, смежный с ним угол равен
\[ 180^\circ-135^\circ=45^\circ; \] - \(\angle AOB=90^\circ\) — угол прямой, значит, \(\alpha=90^\circ\).
Проверка: \(135^\circ\) не может быть углом между прямыми: угол между прямыми не бывает тупым, поэтому берём \(45^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияПочему угол между прямыми не бывает тупым?
Почему угол между прямыми не бывает тупым?
Потому что прямая не имеет направления: её можно «пройти» в обе стороны.
Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла: два равных острых (или прямых) и два равных тупых. Оба этих угла формально можно назвать углами между теми же прямыми, поэтому договорились брать меньший:
\[ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ. \]
Например, если при измерении получился угол \(135^\circ\), то смежный с ним угол равен
\[ 180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]
Это тот же самый угол между прямыми, только с другой стороны. Поэтому углом между прямыми считают \(45^\circ\), а не \(135^\circ\).
Важно различать:
- угол между лучами \(OA\) и \(OB\) может быть тупым, например \(135^\circ\);
- угол между прямыми \(OA\) и \(OB\) — это меньший из двух смежных углов, то есть \(45^\circ\).
Именно поэтому в задаче №44 для \(\angle AOB=135^\circ\) ответ \(45^\circ\).
Потому что у прямой нет направления, а «угол между прямыми» договорились понимать как наименьший угол между их направлениями.
Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: два равных острых (или прямых) и два равных тупых. Например, при \(\angle AOB=135^\circ\) получаем смежный угол
\[ 180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]
Оба эти угла образованы одними и теми же прямыми, поэтому, чтобы ответ был однозначным, за угол между прямыми принимают меньший:
\[ 0^\circ\le \alpha\le 90^\circ. \]
Поэтому:
- угол между лучами \(OA\) и \(OB\) может быть \(135^\circ\);
- угол между прямыми \(OA\) и \(OB\) в этом случае равен \(45^\circ\).
Для скрещивающихся прямых поступают так же: переносят одну из них параллельно до пересечения со второй и берут наименьший из получившихся углов.
