7.18. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD.

Краткий ответ.
а) Сечение — четырёхугольник \(MPQN\), где
\(M\) — середина \(AB\), \(P\) — середина \(SB\), \(Q\) — середина \(SC\), \(N\) — середина \(CD\).
б) Площадь сечения равна \(12\).

Построение и объяснение.

1. Проведём через \(M\) в плоскости основания прямую, параллельную \(AD\). Она пересечёт \(CD\) в её середине — точке \(N\). Значит, \[ MN\parallel AD,\qquad MN=AD. \]

2. В грани \(SAB\) плоскость сечения пересекается с ней по прямой, параллельной \(SA\). Через середину \(AB\) проводим \(MP\parallel SA\); по свойству средней линии треугольника \(SAB\) точка \(P\) — середина \(SB\).

3. Аналогично в грани \(SBC\) проводим \(PQ\parallel BC\). Тогда \(Q\) — середина \(SC\), причём \[ PQ=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}. \] Соединяем \(Q\) с \(N\). В треугольнике \(SCD\) отрезок \(QN\) является средней линией, поэтому \(QN\parallel SD\).

Получили сечение \(MPQN\), это трапеция с основаниями \(MN\) и \(PQ\).

Площадь сечения.

Пусть \(h\) — высота треугольника \(SAD\), проведённая к стороне \(AD\). Расстояние между параллельными прямыми \(MN\) и \(PQ\) равно \(\frac h2\), поскольку \(MP\parallel SA\) и \(MP=\frac12 SA\).

Тогда \[ S_{MPQN} =\frac{MN+PQ}{2}\cdot \frac h2 =\frac{AD+\frac{AD}{2}}{2}\cdot \frac h2 =\frac38\,AD\cdot h. \]

Но \[ S_{SAD}=\frac12 AD\cdot h=16. \] Значит, \[ S_{MPQN}=\frac34\cdot 16=12. \]

Ответ: площадь сечения равна \(12\).