корень квадратный из одной целой девяти девятнадцатых

\[ 1\frac{9}{19}=1+\frac{9}{19}=\frac{19+9}{19}=\frac{28}{19} \]

Поэтому

\[ \sqrt{1\frac{9}{19}} =\sqrt{\frac{28}{19}} =\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{19}} =\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{19}} =\frac{2\sqrt{133}}{19} \approx 1{,}214 \]

Краткий ответ: \(\displaystyle \frac{2\sqrt{133}}{19}\), примерно \(1{,}214\).

Как рассуждать:

1. Смешанное число переводим в неправильную дробь: \(1\frac{9}{19}=\frac{28}{19}\).
2. Корень из дроби равен отношению корней: \(\sqrt{\frac{28}{19}}=\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{19}}\).
3. Упрощаем: \(\sqrt{28}=2\sqrt7\).
4. При желании избавляемся от корня в знаменателе: \(\frac{2\sqrt7}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{133}}{19}\).

Проверка: \[ \left(\frac{2\sqrt{133}}{19}\right)^2 =\frac{4\cdot133}{361} =\frac{532}{361} =\frac{28}{19}. \] Всё сходится. Главное — сначала превратить смешанное число в обыкновенную дробь, а не извлекать корень отдельно из целой и дробной частей.