Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ

\[ x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3 \]

Как это получить

Способ 1. Разложить на множители (самый быстрый).

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\). Это \(2\) и \(3\) (теорема Виета для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\): \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\)). Значит,

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

Здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\):

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка. Подставляю корни в исходное уравнение: при \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✓; при \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✓.

Принцип для похожих заданий

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
2. Если \(a=1\) и корни «красивые», пробуй подобрать их по Виете: сумма равна \(-b\), произведение равно \(c\). Так быстрее всего.
3. Если подобрать не выходит — считай \(D=b^2-4ac\). При \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.
4. Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки со знаками.

Небольшое замечание: на фото страница с заданиями на деление с остатком (№ 3.167–3.181) — самого этого уравнения там нет, поэтому я решил его по тексту запроса.