Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q \]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

Способ 2. Через дискриминант.

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

Отсюда \(x_1=\frac{5-1}{2}=2\), \(x_2=\frac{5+1}{2}=3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: у приведённого квадратного уравнения корни удобно искать по сумме и произведению — это быстрее, чем считать дискриминант, но дискриминант работает всегда, даже когда корни не целые.