упростите выражение k³√4k⁴+k⁴√k²+k⁵

Считаю запись так:

\[ k^3\sqrt{4k^4}+k^4\sqrt{k^2}+k^5 \]

Краткий ответ: если \(k\ge 0\), то ответ \(\boxed{4k^5}\).
Для любого действительного \(k\) точный ответ: \(\boxed{3k^5+k^4|k|}\) — при \(k<0\) он равен \(2k^5\).

Как упрощать:

1. Корень из \(k^4\) извлекается без модуля, потому что \(k^4=(k^2)^2\), а \(k^2\ge0\):

\[ \sqrt{4k^4}=\sqrt4\cdot\sqrt{k^4}=2k^2. \]

Тогда первый член:

\[ k^3\cdot 2k^2=2k^5. \]

2. Для \(\sqrt{k^2}\) важна неотрицательность:

\[ \sqrt{k^2}=|k|. \]

Поэтому второй член равен:

\[ k^4|k|. \]

3. Складываем:

\[ 2k^5+k^4|k|+k^5 =3k^5+k^4|k|. \]

Если \(k\ge0\), то \(|k|=k\), поэтому:

\[ 3k^5+k^4\cdot k=3k^5+k^5=4k^5. \]

Проверка: при \(k=2\):

\[ 2^3\sqrt{4\cdot2^4}+2^4\sqrt{2^2}+2^5 =64+32+32=128=4\cdot2^5. \]

Главное правило здесь: \(\sqrt{k^2}=|k|\), а не просто \(k\).