7.19. Основанием пирамиды SABCD с равными боковыми рёбрами является прямоугольник ABCD. Плоскость α проходит через сторону AB основания и середину высоты пирамиды.

Ответ:
а) \(SP:PD=1:2\), где \(P=\alpha\cap SD\);
б) площадь сечения равна \(\dfrac{80}{3}\).

Решение

Пусть \(O\) — основание высоты \(SO\), а \(M\) — её середина. Так как все боковые рёбра пирамиды равны, то \[ OA=OB=OC=OD, \] поэтому \(O\) — центр прямоугольника \(ABCD\), то есть точка пересечения его диагоналей.

Введём координаты: \[ A(-a;-b;0),\quad B(a;-b;0),\quad C(a;b;0),\quad D(-a;b;0), \] \[ S(0;0;h),\quad M\left(0;0;\frac h2\right). \] Здесь \(AB=2a\), \(AD=2b\).

а) Отношение на ребре \(SD\)

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(AB\) и \(M\). Её уравнение: \[ z=\frac{h}{2b}(y+b). \]

Пусть \(P\in SD\). Запишем точку \(P\) через параметр \(t\): \[ P=S+t(D-S)=(-at;bt;h(1-t)). \] При \(t=0\) получаем \(S\), при \(t=1\) — точку \(D\), поэтому \[ \frac{SP}{SD}=t. \]

Подставим координаты \(P\) в уравнение плоскости: \[ h(1-t)=\frac{h}{2b}(bt+b). \] Сократим на \(h\): \[ 1-t=\frac{t+1}{2}, \] \[ 2-2t=t+1, \] \[ 1=3t, \] \[ t=\frac13. \] Значит, \[ SP:PD=\frac13:\frac23=1:2. \] Пункт а) доказан.

б) Площадь сечения

Теперь \(AB=6\), \(AD=8\), значит, \[ a=3,\quad b=4,\quad h=6. \]

Плоскость пересекает \(SC\) в точке \(Q\). Из того же уравнения получаем, что для \(Q\) параметр тоже \(t=\frac13\). Тогда \[ P\left(-1;\frac43;4\right),\qquad Q\left(1;\frac43;4\right). \] Поэтому \[ PQ=2,\qquad PQ\parallel AB. \] Сечение — трапеция \(ABQP\) с основаниями \[ AB=6,\qquad PQ=2. \]

Высота этой трапеции — расстояние от \(P\) до прямой \(AB\). Прямая \(AB\) имеет \(y=-4,\ z=0\), поэтому \[ h_{\text{тр}}=\sqrt{\left(\frac43+4\right)^2+4^2} =\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2+16} =\frac{20}{3}. \]

Площадь трапеции: \[ S_{\text{сеч}}=\frac{AB+PQ}{2}\cdot h_{\text{тр}} =\frac{6+2}{2}\cdot\frac{20}{3} =\frac{80}{3}. \]

Ответ:
\[ \boxed{S_{\text{сеч}}=\frac{80}{3}} \]