22 Постройте график функции y = |4x + 1| − x². Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Краткий ответ: \(\boxed{m=-\frac{1}{16}\ \text{или}\ m=3}\).

1. Раскроем модуль: \[ f(x)= \begin{cases} 3-(x+2)^2, & x<-\frac14,\\[2pt] 5-(x-2)^2, & x\ge -\frac14. \end{cases} \]

Это две ветви парабол, направленных вниз. Левая имеет вершину \((-2;3)\), правая — \((2;5)\). В точке \(x=-\frac14\) они смыкаются: \[ f\left(-\frac14\right)=-\frac1{16}. \] График сначала поднимается до \((-2;3)\), опускается к \((-\frac14;-\frac1{16})\), затем поднимается до \((2;5)\), после чего уходит вниз.

2. Число общих точек с прямой \(y=m\) — это число решений уравнения \(f(x)=m\):

\[ \begin{array}{c|c} m & \text{точек}\\ \hline m<-\frac1{16} & 2\\ m=-\frac1{16} & 3\\ -\frac1{16}<m<3 & 4\\ m=3 & 3\\ 3<m<5 & 2\\ m=5 & 1\\ m>5 & 0 \end{array} \]

При \(m=-\frac1{16}\) точка стыка даёт одну общую точку, а не две, поэтому всего точек три.

3. Проверка:

• при \(m=-\frac1{16}\): \(x=-\frac{15}{4},\,-\frac14,\,\frac{17}{4}\) — три точки;
• при \(m=3\): \(x=-2,\,2-\sqrt2,\,2+\sqrt2\) — три точки.

Значит, подходят только: \[ \boxed{m=-\frac1{16}\ \text{и}\ m=3.} \]