Реши 931 номер геометрии

Кратко: \[ M(3;-3). \] Точки \(N\) и \(Q\) — это \((3;3)\) и \((-3;-3)\).
Если обходить квадрат \(M\to N\to P\to Q\) по часовой стрелке, то \[ N(-3;-3),\qquad Q(3;3). \] При противоположном обходе \(N\) и \(Q\) поменяются местами — квадрат будет тем же.

Как понять:

1. Пусть \(O(0;0)\) — точка пересечения диагоналей. В квадрате диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина отрезка \(MP\).

По формулам середины отрезка: \[ \frac{x_M+(-3)}2=0,\qquad \frac{y_M+3}2=0. \] Отсюда \[ x_M=3,\qquad y_M=-3, \] то есть \(M(3;-3)\).

2. Диагонали квадрата перпендикулярны. Диагональ \(MP\) лежит на прямой \(y=-x\), значит диагональ \(NQ\) лежит на прямой \(y=x\). Поэтому \(N\) и \(Q\) имеют вид \((t;t)\) и \((-t;-t)\).

3. Половины диагоналей квадрата равны: \[ OP=ON. \] При этом \[ OP=\sqrt{(-3)^2+3^2}=3\sqrt2. \] Для точки \((t;t)\): \[ \sqrt{t^2+t^2}=|t|\sqrt2=3\sqrt2, \] поэтому \(t=\pm 3\). Значит, \[ N,Q \in \{(3;3),\,(-3;-3)\}. \]

Проверка: у выбранного варианта \[ M(3;-3),\ N(-3;-3),\ P(-3;3),\ Q(3;3) \] все стороны равны \(6\), стороны горизонтальны и вертикальны, углы прямые, а середины диагоналей \(MP\) и \(NQ\) совпадают с \((0;0)\). Значит, это квадрат.