На рисунке 58 AB = AC, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если AC = 15 см, DC = 14 см.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
99 На рисунке 58 AB = AC, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если AC = 15 см, DC = 14 см. [Рисунок 58: треугольник ABC, точка D на стороне BC; проведён отрезок AD; углы между AB и AD и между AD и AC отмечены цифрами 1 и 2.]
На фото отмечена задача №99 — решаю её.
Кратко:
\[
BD=14\text{ см},\qquad AB=15\text{ см}.
\]
Доказательство.
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). По рисунку 58:
- \(AB=AC\) — дано;
- \(AD\) — общая сторона;
- \(\angle BAD=\angle 1\), \(\angle CAD=\angle 2\), причём \(\angle 1=\angle 2\).
Значит, треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равны по двум сторонам и углу между ними — это первый признак равенства треугольников.
В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому \[ BD=CD. \]
Вычисления.
Дано \(DC=14\) см, значит:
\[
BD=14\text{ см}.
\]
И так как \(AB=AC\), а \(AC=15\) см:
\[
AB=15\text{ см}.
\]
Проверка: оба данных — \(AC=15\) см и \(DC=14\) см — использованы; равенство \(BD=DC\) следует из равенства треугольников.
Обсуждение
4 сообщенияЭто продолжение текущей учебной цели: на изображении та же страница и тема — равенство треугольников, а сверху видно окончание №99.
Уточняю прошлый ответ: в №99 дано \(DC=5\) см, а не 14. Доказательство равенства \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) остаётся прежним, поэтому \(BD=CD\). Значит:
\[ BD=5\text{ см},\qquad AB=AC=15\text{ см}. \]
Для отмеченного №100:
\(BC=AD\), \(\angle 1=\angle 2\), сторона \(AC\) общая, поэтому
\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]
по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\[ AB=DC=14\text{ см},\qquad BC=AD=17\text{ см}. \]
Это продолжение текущей темы: перед нами снова задание на признаки равенства треугольников. Поэтому разбираю его в том же контексте.
| Рисунок | Равные треугольники | Признак |
|---|---|---|
| Верхний левый | \(\triangle ADC\) и \(\triangle EBC\) | I: \(AC=EC\), \(DC=BC\), \(\angle ACD=\angle ECB\) — вертикальные |
| Верхний средний | \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBC\) | III: \(AB=DB\), \(AC=DC\), \(BC\) — общая |
| Верхний правый | \(\triangle MNP\) и \(\triangle RQP\) | II: \(MN=RQ\), \(\angle MNP=\angle RQP\), \(\angle MPN=\angle RPQ\) — вертикальные |
| Нижний левый | \(\triangle DEC\) и \(\triangle DKC\) | III: \(DE=DK\), \(EC=CK\), \(DC\) — общая |
| Нижний средний | \(\triangle RQO\) и \(\triangle RPO\) | I: \(QO=PO\), \(RO\) — общая, \(\angle QOR=\angle POR=90^\circ\) |
| Нижний правый | \(\triangle ABC\) и \(\triangle EBD\) | II: \(AC=ED\), \(\angle BAC=\angle BED\), \(\angle BCA=\angle BDE\) |
Кратко о признаках:
I — две стороны и угол между ними;
II — сторона и два прилежащих к ней угла;
III — три стороны.
