1. Решите уравнения: а) 2 - (3x - 7) = -2(x+1)

Краткие ответы

1. а) \(x=11\); б) \(x=2\) или \(x=-\frac{1}{3}\); в) \(x=0\) или \(x=15\); г) \(x=\frac{9}{10}\).
2. а) \(x>13\); б) \(x\le -5\) или \(x\ge 2\); в) \(x<6\) или \(x>8\).

1. Уравнения

а)
\[ 2-(3x-7)=-2(x+1) \] \[ 2-3x+7=-2x-2 \] \[ 9-3x=-2x-2 \Rightarrow -x=-11 \Rightarrow x=11 \]

б)
\[ 3x^2-5x-2=0 \] \[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm7}{6} \] \[ x_1=2,\qquad x_2=-\frac{1}{3} \]

в)
\[ x^2-15x=0 \] \[ x(x-15)=0 \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=15 \]

г)
Сначала ОДЗ: \[ x\ne 2 \] Так как \(x-2=-(2-x)\), получаем: \[ \frac{3x}{2-x}-\frac{5}{x-2} =\frac{3x}{2-x}+\frac{5}{2-x} =\frac{3x+5}{2-x}=7 \] \[ 3x+5=7(2-x) \] \[ 3x+5=14-7x \] \[ 10x=9 \] \[ x=\frac{9}{10} \] Корень входит в ОДЗ.

2. Неравенства

а)
\[ 4-(2x-3)<-5-(1+x) \] \[ 7-2x<-6-x \] \[ 13<x \] Ответ: \[ x\in(13;+\infty) \]

б)
\[ x^2+3x-10\ge 0 \] \[ (x+5)(x-2)\ge 0 \] Корни: \(-5\) и \(2\). Парабола ветвями вверх, значит выражение неотрицательно вне промежутка между корнями. Концы включаем, потому что знак \(\ge\).

Ответ: \[ x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 2 \] \[ x\in(-\infty;-5]\cup[2;+\infty) \]

в)
\[ (x-6)(8-x)<0 \] Так как \(8-x=-(x-8)\): \[ -(x-6)(x-8)<0 \] Умножаем на \(-1\), знак неравенства меняется: \[ (x-6)(x-8)>0 \] Корни: \(6\) и \(8\). Парабола ветвями вверх, выражение положительно вне промежутка между корнями. Концы не включаем, так как неравенство строгое.

Ответ: \[ x<6 \quad \text{или} \quad x>8 \] \[ x\in(-\infty;6)\cup(8;+\infty) \]

Что важно запомнить: в линейных уравнениях раскрывай скобки и переноси слагаемые; в неравенствах при умножении или делении на отрицательное число меняй знак. Квадратное неравенство удобно решать через корни и знак параболы. В дробном уравнении сначала обязательно выписывай ОДЗ.