4. Решите систему уравнений 5x² + y² = 36, 10x² + 2y² = 36x. 5. Решите систему уравнений x² + y = 5, 6x² − y = 2

Краткий ответ

№ 4. \((2;\,4)\) и \((2;\,-4)\).

№ 5. \((1;\,4)\) и \((-1;\,4)\).

№ 4. Как это устроено

\[ \begin{cases} 5x^{2}+y^{2}=36,\\ 10x^{2}+2y^{2}=36x. \end{cases} \]

Главная идея: сравнить левые части. Второе уравнение — это удвоенное первое:

\[ 10x^{2}+2y^{2}=2\left(5x^{2}+y^{2}\right). \]

А из первого уравнения скобка равна \(36\). Значит,

\[ 10x^{2}+2y^{2}=2\cdot 36=72 . \]

Подставляем это во второе уравнение:

\[ 72=36x \quad\Rightarrow\quad x=2 . \]

Теперь \(x\) уже известен — возвращаемся к первому уравнению:

\[ 5\cdot 2^{2}+y^{2}=36,\qquad 20+y^{2}=36,\qquad y^{2}=16,\qquad y=\pm 4 . \]

Проверка для \((2;4)\): \(5\cdot4+16=36\) — верно; \(10\cdot4+2\cdot16=72\) и \(36\cdot2=72\) — верно. Для \(y=-4\) всё так же, ведь \(y\) входит только в квадрате.

Принцип: если одно уравнение системы — «кратная копия» другого, удобно заменить повторяющееся выражение числом. Это разновидность метода подстановки, но подставляем не переменную, а целую конструкцию \(5x^{2}+y^{2}\).

№ 5. Как это устроено

\[ \begin{cases} x^{2}+y=5,\\ 6x^{2}-y=2. \end{cases} \]

Здесь \(y\) входит с коэффициентами \(+1\) и \(-1\) — значит, при сложении уравнений он исчезнет (метод алгебраического сложения):

\[ \left(x^{2}+y\right)+\left(6x^{2}-y\right)=5+2, \] \[ 7x^{2}=7,\qquad x^{2}=1,\qquad x=\pm 1 . \]

Из первого уравнения \(y=5-x^{2}=5-1=4\) — при обоих значениях \(x\), потому что важен только \(x^{2}\).

Проверка для \((1;4)\): \(1+4=5\) — верно, \(6\cdot1-4=2\) — верно. Для \(x=-1\) получается то же самое, так как \((-1)^{2}=1\).

Принцип: сначала убираем переменную сложением, получаем уравнение с одной неизвестной, а потом находим вторую из более простого уравнения системы. Всегда проверяйте пары подстановкой в оба уравнения.

Что запомнить

1. Посмотрите на коэффициенты: есть ли пропорция между уравнениями (№ 4) или противоположные коэффициенты (№ 5).
2. Сведите систему к уравнению с одной переменной — сложением или подстановкой.
3. Найдите вторую переменную и обязательно сделайте проверку.