Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Шаг 1. Находим коэффициенты. Это приведённое квадратное уравнение вида \(x^{2}+px+q=0\), где

\[ p=-5,\qquad q=6 \]

Шаг 2. Считаем дискриминант.

\[ D=p^{2}-4q=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два.

Шаг 3. Подставляем в формулу корней.

\[ x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{D}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Второй способ — теорема Виета

Для приведённого уравнения сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Значит, корни — \(2\) и \(3\). Этот способ быстрее, если корни целые.

Проверка

Подставляем \(x=2\):

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

Подставляем \(x=3\):

\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба раза получился нуль — корни найдены верно.

Принцип на будущее: в приведённом уравнении \(x^{2}+px+q=0\) сначала проверь, не подбираются ли корни по Виету (сумма \(-p\), произведение \(q\)). Если нет — считай дискриминант \(D=p^{2}-4q\): при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.