3.142 Выполните деление с остатком: а) 37 : 5; б) 90 : 14; в) 120 : 11; г) 138 : 35. Назовите делимое, неполное частное, делитель, остаток.

Задание 3.142

Краткий ответ: а) \(37 : 5 = 7\) (ост. \(2\)). Делимое 37, делитель 5, неполное частное 7, остаток 2. б) \(90 : 14 = 6\) (ост. \(6\)). Делимое 90, делитель 14, неполное частное 6, остаток 6. в) \(120 : 11 = 10\) (ост. \(10\)). Делимое 120, делитель 11, неполное частное 10, остаток 10. г) \(138 : 35 = 3\) (ост. \(33\)). Делимое 138, делитель 35, неполное частное 3, остаток 33.

Как это получается

При делении с остатком всегда выполняется равенство: \[ a = b \cdot q + r, \] где \(a\) — делимое, \(b\) — делитель, \(q\) — неполное частное, \(r\) — остаток, причём \(0 \le r < b\).

Чтобы найти \(q\), подбираем наибольшее целое число, при умножении на которое \(b\) не превышает \(a\). Тогда остаток \(r = a - b \cdot q\).

Разберём пример а): \(37 : 5\). Умножаем 5 на 7 — получаем 35, это меньше 37. Если взять 8, то \(5 \cdot 8 = 40 > 37\). Значит, \(q = 7\). Остаток \(r = 37 - 35 = 2\). Проверяем: \(5 \cdot 7 + 2 = 37\), и \(2 < 5\).

Аналогично:

• \(90 : 14\): \(14 \cdot 6 = 84\), \(14 \cdot 7 = 98 > 90\), поэтому \(q = 6\), \(r = 90 - 84 = 6\).
• \(120 : 11\): \(11 \cdot 10 = 110\), \(11 \cdot 11 = 121 > 120\), поэтому \(q = 10\), \(r = 120 - 110 = 10\).
• \(138 : 35\): \(35 \cdot 3 = 105\), \(35 \cdot 4 = 140 > 138\), поэтому \(q = 3\), \(r = 138 - 105 = 33\).

Проверка

Подставляем в формулу \(a = b \cdot q + r\):

• \(5 \cdot 7 + 2 = 37\) — верно;
• \(14 \cdot 6 + 6 = 90\) — верно;
• \(11 \cdot 10 + 10 = 120\) — верно;
• \(35 \cdot 3 + 33 = 138\) — верно.

Во всех случаях остаток меньше делителя.