Контрольная работа по геометрии № 1 (7 класс), Вариант 4

Краткие ответы

1. \(91^\circ\)
2. \(151^\circ,\ 29^\circ,\ 29^\circ\)
3. \(45^\circ\) и \(135^\circ\)
4. \(DM=MC\), доказано
5. \(108^\circ\)
6. \(4^\circ\) — если луч \(OD\) проходит внутри \(\angle COE\) (стандартное расположение; см. пояснение)

Решения и пояснения

1. Так как \(KF\) проходит внутри \(\angle MKN\): \[ \angle FKM=\angle MKN-\angle NKF=128^\circ-37^\circ=91^\circ. \] Проверка: \(37^\circ+91^\circ=128^\circ\).

2. При пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные дают в сумме \(180^\circ\). Поэтому: \[ 180^\circ-151^\circ=29^\circ. \] Остальные углы: один вертикальный \(151^\circ\) и два смежных по \(29^\circ\).

3. Пусть меньший смежный угол равен \(x\), тогда больший равен \(3x\). Смежные углы дают в сумме \(180^\circ\): \[ x+3x=180^\circ,\quad 4x=180^\circ,\quad x=45^\circ. \] Значит, углы \(45^\circ\) и \(135^\circ\).

4. По рисунку \(A-D-M-C-B\). Так как \(M\) — середина \(AB\): \[ AM=MB. \] Кроме того, \[ AM=AD+DM,\qquad MB=BC+CM. \] По условию \(AD=BC\). Подставляем: \[ AD+DM=BC+CM. \] Поскольку \(AD=BC\), получаем: \[ DM=CM. \] Что и требовалось доказать.

5. Пусть искомый угол равен \(\alpha\). Его биссектриса отсекает от стороны угол \(\frac{\alpha}{2}\). Луч, дополнительный к стороне, образует с ней развёрнутый угол \(180^\circ\), поэтому: \[ 180^\circ-\frac{\alpha}{2}=126^\circ. \] Отсюда: \[ \frac{\alpha}{2}=54^\circ,\qquad \alpha=108^\circ. \] Проверка: \(54^\circ+126^\circ=180^\circ\).

6. Пусть \[ \angle COD=x. \] Тогда \[ \angle DOE=5x. \] В стандартном расположении луч \(OD\) лежит внутри \(\angle COE\), поэтому: \[ \angle COE=\angle COD+\angle DOE, \] \[ x+5x=24^\circ, \] \[ 6x=24^\circ,\qquad x=4^\circ. \] Ответ: \(\angle COD=4^\circ\).

Если бы луч \(OD\) лежал вне угла \(COE\) со стороны \(C\), то условие дало бы другой ответ \(6^\circ\). Для однозначности нужен рисунок расположения лучей; в школьной конфигурации обычно подразумевается первый случай.