№1 log₂(2x+1)=log₂3+1

Краткий ответ

\[ \log_{2}(2x+1)=\log_{2}3+1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5}{2}=2{,}5 \]

Как это устроено

Главная идея: число можно записать как логарифм по нужному основанию. Единица — это \(\log_{2}2\), ведь \(2^{1}=2\). Тогда справа получится сумма логарифмов с одинаковым основанием, а её сворачиваем в логарифм произведения.

\[ \log_{2}(2x+1)=\log_{2}3+\log_{2}2 \]

\[ \log_{2}(2x+1)=\log_{2}(3\cdot 2)=\log_{2}6 \]

Логарифм с одним и тем же основанием — «однозначная» функция: если \(\log_{2}A=\log_{2}B\), то \(A=B\). Значит:

\[ 2x+1=6 \]

\[ 2x=5 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5}{2}=2{,}5 \]

Обязательный шаг — ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ 2x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-\frac{1}{2} \]

Корень \(x=2{,}5\) этому условию удовлетворяет, поэтому он подходит.

Проверка

Подставим в левую часть: \(2\cdot 2{,}5+1=6\), то есть слева \(\log_{2}6\). Справа \(\log_{2}3+1=\log_{2}3+\log_{2}2=\log_{2}6\). Совпало — ответ верный.

Второй способ (тот же принцип)

Перенесём \(\log_{2}3\) влево и свернём разность логарифмов в логарифм частного:

\[ \log_{2}\frac{2x+1}{3}=1 \]

По определению логарифма \(\frac{2x+1}{3}=2^{1}=2\), откуда \(2x+1=6\) и \(x=2{,}5\).

Типичная ошибка: записать \(2x+1=3+1=4\). Так делать нельзя: единица — это не \(\log_{2}1\), а \(\log_{2}2\), поэтому «прибавлять» её к аргументу напрямую нельз­я.