1.Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 2 по геометрии 8 класс

Вариант-1

2.В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.

3.Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Answer

Краткие ответы (вариант 1):

1. $4$ см, $5$ см, $6$ см.

2. Большее основание $36$ см, меньшее $24$ см.

3. $3$ м и $4$ м.

1. Треугольник из середин сторон

Пусть $M$, $N$, $K$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника, поэтому
$$
MN\parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}.
$$
Аналогично
$$
NK=\frac{AB}{2},\qquad KM=\frac{BC}{2}.
$$
Значит, стороны нового треугольника — половины сторон исходного:
$$
\frac{8}{2}=4,\qquad \frac{10}{2}=5,\qquad \frac{12}{2}=6.
$$

Ответ: $4$ см, $5$ см, $6$ см.

Проверка: новый треугольник подобен исходному с коэффициентом $\frac12$. Его периметр $4+5+6=15$ см, а периметр исходного $8+10+12=30$ см — ровно вдвое больше.

2. Равнобокая трапеция

Пусть $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, $AB=CD$. Проведём высоты $BH$ и $CK$ к $AD$. Тогда $BC=HK$, а прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и катету, поэтому $AH=KD$. Значит,
$$
AH=KD=\frac{AD-BC}{2},
$$
$$
HD=HK+KD=BC+\frac{AD-BC}{2}=\frac{AD+BC}{2}.
$$

Высота $BH$ делит $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$. По условию это $6$ см и $30$ см. Так как $HD>AH$, получаем
$$
\frac{AD+BC}{2}=30,\qquad \frac{AD-BC}{2}=6.
$$
Отсюда
$$
AD+BC=60,\qquad AD-BC=12.
$$
Складывая, $2AD=72$, поэтому $AD=36$ см. Тогда
$$
BC=60-36=24 \text{ см}.
$$

Ответ: $36$ см и $24$ см.

Проверка: $AH=(36-24):2=6$ см, $HD=24+6=30$ см — сходится с условием.

3. Отрезки, параллельные основаниям

Пусть $BC=2$ м — меньшее основание, $AD=5$ м — большее. Боковая сторона $AB$ разделена точками $M$ и $N$ на три равные части:
$$
BM=MN=NA
$$
(точка $M$ ближе к $BC$, $N$ — к $AD$). Через $M$ и $N$ проведены отрезки $MM'$ и $NN'$, параллельные основаниям; $M'$ и $N'$ лежат на $CD$. Обозначим
$$
MM'=x,\qquad NN'=y.
$$

По теореме о пропорциональных отрезках параллельные прямые делят и вторую боковую сторону на такие же равные части, поэтому
$$
CM'=M'N'=N'D.
$$
Тогда:

$M$ — середина $BN$, $M'$ — середина $CN'$, значит, $MM'$ — средняя линия трапеции $BCN'N$:
$$
x=\frac{2+y}{2};
$$

$N$ — середина $MA$, $N'$ — середина $M'D$, значит, $NN'$ — средняя линия трапеции $MM'DA$:
$$
y=\frac{x+5}{2}.
$$

Решаем систему:
$$
2x=2+y \quad\Rightarrow\quad y=2x-2;
$$
$$
2y=x+5 \quad\Rightarrow\quad 2(2x-2)=x+5;
$$
$$
4x-4=x+5 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3.
$$
Тогда
$$
y=2\cdot 3-2=4.
$$

Ответ: $3$ м и $4$ м (если считать от меньшего основания; от большего — $4$ м и $3$ м).

Проверка: средняя линия всей трапеции равна $(2+5):2=3{,}5$ м. Отрезки $3$ и $4$ дают в среднем $3{,}5$, а длины вдоль боковой стороны меняются равномерно: $2\to3\to4\to5$.

Что запомнить

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине; средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

В равнобокой трапеции высота из тупого угла отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований.

Если боковую сторону трапеции разделить на $n$ равных частей, длины параллельных основаниям отрезков меняются с равным шагом $\frac{b-a}{n}$.

Вариант 2 на фото обрезан, поэтому я решил три полные задачи варианта 1.