найти решение

Question

найти решение

Расшифровка фото нейросетью:
70
На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если:
а) $\angle 2 + \angle 4 = 220^\circ$;
б) $3(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$;
в) $\angle 2 - \angle 1 = 30^\circ$.

Answer

Кратко

а) $\angle1=70^\circ,\ \angle2=110^\circ,\ \angle3=70^\circ,\ \angle4=110^\circ$;

б) $\angle1=45^\circ,\ \angle2=135^\circ,\ \angle3=45^\circ,\ \angle4=135^\circ$;

в) $\angle1=75^\circ,\ \angle2=105^\circ,\ \angle3=75^\circ,\ \angle4=105^\circ$.

Как рассуждать

На рисунке 47 две пересекающиеся прямые. Поэтому:

$\angle1=\angle3$ и $\angle2=\angle4$ — вертикальные углы;

$\angle1+\angle2=180^\circ$ — смежные углы.

Обозначим $\angle1=\angle3=x$, $\angle2=\angle4=y$. Тогда всегда $x+y=180^\circ$.

а) $\angle2+\angle4=220^\circ$, значит $2y=220^\circ$, откуда $y=110^\circ$. Тогда $x=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

б) $3(x+x)=y+y$, то есть $6x=2y$, поэтому $y=3x$. Подставляем в $x+y=180^\circ$:
$$
x+3x=180^\circ,\quad 4x=180^\circ,\quad x=45^\circ.
$$
Тогда $y=135^\circ$.

в) $y-x=30^\circ$ и $x+y=180^\circ$. Складываем уравнения:
$$
2y=210^\circ,\quad y=105^\circ,
$$
тогда $x=75^\circ$.

Проверка: $110^\circ+110^\circ=220^\circ$; $3(45^\circ+45^\circ)=270^\circ=135^\circ+135^\circ$; $105^\circ-75^\circ=30^\circ$.