решите квадратный трехч

Краткий ответ

\[ \frac{x^{2}+x-6}{x+3}=x-2 \quad \text{при } x\neq -3 \]

Как это получается

1. Раскладываем числитель на множители. Решаем уравнение \(x^{2}+x-6=0\):

\[ D=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2},\qquad x_{1}=2,\quad x_{2}=-3 \]

Значит,

\[ x^{2}+x-6=(x-2)(x+3) \]

Тот же результат можно получить по теореме Виета: сумма корней \(-1\), произведение \(-6\) — это \(2\) и \(-3\).

2. Сокращаем дробь. В числителе и знаменателе появился общий множитель \(x+3\):

\[ \frac{(x-2)(x+3)}{x+3}=x-2 \]

Сокращать можно только при условии \(x+3\neq 0\), то есть \(x\neq -3\). Это ограничение обязательно записывать в ответе: при \(x=-3\) знаменатель обращается в ноль, и дробь не имеет смысла.

3. Другой способ — деление уголком или группировка:

\[ x^{2}+x-6=x^{2}+3x-2x-6=x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2) \]

Проверка

Раскроем скобки в ответе:

\[ (x-2)(x+3)=x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6 \]

Получили исходный числитель — значит, сокращение выполнено верно.

Общий приём: если в знаменателе стоит \(x-a\), проверь, не является ли \(a\) корнем числителя (подставь \(a\) вместо \(x\)). Если числитель обращается в ноль, он делится на \(x-a\) нацело, и дробь сокращается.