номер 1092

Чтобы решить № 1092, нужно его условие: по номеру и странице в разных изданиях Алимова задания могут отличаться. Пришлите, пожалуйста, фото страницы или текст номера — решу по шагам и объясню.

Это задание № 1092 — записать разложение бинома. Используем формулу бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k \]

Коэффициенты \(\binom{n}{k}\) берутся из треугольника Паскаля; при минусе перед \(b\) знаки чередуются.

Ответы:

1. \[ (1+x)^8=1+8x+28x^2+56x^3+70x^4+56x^5+28x^6+8x^7+x^8 \]

2. \[ (x+1)^7=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1 \]

3. \[ (a-1)^9=a^9-9a^8+36a^7-84a^6+126a^5-126a^4+84a^3-36a^2+9a-1 \]

4. \[ (y-1)^{10}=y^{10}-10y^9+45y^8-120y^7+210y^6-252y^5+210y^4-120y^3+45y^2-10y+1 \]

5. \[ (2x+1)^5=32x^5+80x^4+80x^3+40x^2+10x+1 \]

6. \[ (x+2)^6=x^6+12x^5+60x^4+160x^3+240x^2+192x+64 \]

7. \[ (3x+2)^4=81x^4+216x^3+216x^2+96x+16 \]

8. \[ (2a+3)^5=32a^5+240a^4+720a^3+1080a^2+810a+243 \]

9. \[ \left(2a-\frac12\right)^5=32a^5-40a^4+20a^3-5a^2+\frac58a-\frac1{32} \]

10. \[ \left(3x-\frac13\right)^4=81x^4-36x^3+6x^2-\frac49x+\frac1{81} \]

Если нужен подробный разбор только одного пункта — скажи номер.

Разберу принцип и покажу подробно несколько пунктов — дальше сможешь делать любые сам.

Общая идея

\[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k\, a^{\,n-k}b^k,\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]

Смысл: слагаемых всегда \(n+1\); степени \(a\) убывают от \(n\) до 0, степени \(b\) растут от 0 до \(n\), а коэффициент при \(k\)-м слагаемом — число сочетаний \(C_n^k\).

Коэффициенты \(C_n^k\) удобно считать так: \[ C_n^0=1,\qquad C_n^k=C_n^{k-1}\cdot\frac{n-k+1}{k} \]

Пункт 1: \((1+x)^8\)

Здесь \(a=1,\ b=x,\ n=8\), поэтому \(1^{\,8-k}=1\) и остаётся только \(x^k\).

Считаем коэффициенты: \[ C_8^0=1,\quad C_8^1=8,\quad C_8^2=\frac{8\cdot7}{2}=28, \] \[ C_8^3=28\cdot\frac{6}{3}=56,\quad C_8^4=56\cdot\frac{5}{4}=70, \] дальше симметрия: \(56,\ 28,\ 8,\ 1\).

\[ (1+x)^8=1+8x+28x^2+56x^3+70x^4+56x^5+28x^6+8x^7+x^8 \]

Почему так: при \(x=1\) должно получиться \((1+1)^8=256\). Проверяем: \(1+8+28+56+70+56+28+8+1=256\) ✓

Пункт 2: \((x+1)^7\) — тот же случай

От перестановки слагаемых коэффициенты не меняются, только читаются в обратном порядке:

\[ (x+1)^7=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1 \]

Проверка при \(x=1\): \(2^7=128\), а \(1+7+21+35+35+21+7+1=128\) ✓

Пункт 5: \((2x+1)^5\) — когда есть множитель

Коэффициенты: \(1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1\). Каждое слагаемое: \(C_5^k(2x)^{5-k}\cdot1^k\).

\[ 1\cdot(2x)^5=32x^5 \] \[ 5\cdot(2x)^4=5\cdot16x^4=80x^4 \] \[ 10\cdot(2x)^3=10\cdot8x^3=80x^3 \] \[ 10\cdot(2x)^2=10\cdot4x^2=40x^2 \] \[ 5\cdot(2x)^1=10x,\qquad 1\cdot1=1 \]

\[ (2x+1)^5=32x^5+80x^4+80x^3+40x^2+10x+1 \]

Пункт 9: \(\left(2a-\frac12\right)^5\) — минус и дробь

Записываем как сумму: \(a=2a,\ b=-\frac12\). Знаки чередуются, а дробь возводится в степень вместе со знаком.

\[ (2a)^5=32a^5 \] \[ 5(2a)^4\left(-\frac12\right)=5\cdot16a^4\cdot\left(-\frac12\right)=-40a^4 \] \[ 10(2a)^3\left(\frac14\right)=10\cdot8a^3\cdot\frac14=20a^3 \] \[ 10(2a)^2\left(-\frac18\right)=10\cdot4a^2\cdot\left(-\frac18\right)=-5a^2 \] \[ 5(2a)\left(\frac1{16}\right)=\frac{10a}{16}=\frac58a,\qquad \left(-\frac12\right)^5=-\frac1{32} \]

\[ \left(2a-\frac12\right)^5=32a^5-40a^4+20a^3-5a^2+\frac58a-\frac1{32} \]

Проверка при \(a=1\): слева \(\left(\frac32\right)^5=\frac{243}{32}\), справа \(32-40+20-5+\frac58-\frac1{32}=\frac{243}{32}\) ✓

Приём для самопроверки

Подставь \(x=1\) (или \(a=1\)) — сумма всех коэффициентов должна равняться \((a+b)^n\) при этих значениях. Это ловит почти все ошибки в коэффициентах и знаках.

Если хотел разбор конкретного номера — назови его, разберу именно тот.