Задание 8. Решите систему уравнений
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 8. Решите систем[обрезано]
\[\begin{cases}3x^2 - 4x = y,\\3x - 4 = y;\end{cases}\]
\[\begin{cases}9x^2 - 14x = y,\\9x - 14 = y;\end{cases}\]
\[\begin{cases}7x^2 - 5x = y,\\7x - 5 = y;\end{cases}\]
\[\begin{cases}5x^2 - 11x = y,\\5x - 11 = y;\end{cases}\]
\[\begin{cases}2x\\2x\end{cases}\] [обрезано]
\[\begin{cases}3x\\3x\end{cases}\] [обрезано]
\[\begin{cases}4x\\8x\end{cases}\] [обрезано]
\[\begin{cases}4x\\8x\end{cases}\] [обрезано]
На фото — задание 8. Полностью видны системы 1–4; системы 5–8 обрезаны справа, поэтому ниже решение первых четырёх.
Краткие ответы:
- \((1;-1)\), \(\left(\frac43;0\right)\)
- \((1;-5)\), \(\left(\frac{14}{9};0\right)\)
- \((1;2)\), \(\left(\frac57;0\right)\)
- \((1;-6)\), \(\left(\frac{11}{5};0\right)\)
Порядок пар не важен.
Почему так. В каждой системе \(y\) выражен через \(x\) в обоих уравнениях. Значит, левые части можно приравнять: \[ ax^2-bx=ax-b. \] Перенесём всё влево и сгруппируем: \[ ax^2-(a+b)x+b=0, \] \[ ax(x-1)-b(x-1)=0, \] \[ (x-1)(ax-b)=0. \] Отсюда два случая:
- \(x=1\), тогда \(y=a\cdot1-b=a-b\);
- \(x=\frac{b}{a}\), тогда \(y=a\cdot\frac{b}{a}-b=0\).
Пример — система 1. Здесь \(a=3\), \(b=4\): \[ 3x^2-4x=3x-4, \] \[ 3x^2-7x+4=0, \] \[ (x-1)(3x-4)=0. \] Значит, \(x=1\) или \(x=\frac43\). Тогда:
- при \(x=1\): \(y=3-4=-1\);
- при \(x=\frac43\): \(y=3\cdot\frac43-4=0\).
Ответ: \((1;-1)\), \(\left(\frac43;0\right)\).
Остальные — по той же схеме. Можно сверить по таблице:
| № | \(a\) | \(b\) | \(x=1\) | \(x=\frac{b}{a}\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 4 | \((1;-1)\) | \(\left(\frac43;0\right)\) |
| 2 | 9 | 14 | \((1;-5)\) | \(\left(\frac{14}{9};0\right)\) |
| 3 | 7 | 5 | \((1;2)\) | \(\left(\frac57;0\right)\) |
| 4 | 5 | 11 | \((1;-6)\) | \(\left(\frac{11}{5};0\right)\) |
Проверка. Подставь любую пару в оба уравнения. Например, для системы 1 пара \((1;-1)\): \(3\cdot1^2-4\cdot1=-1\) и \(3\cdot1-4=-1\) — верно. Пара \(\left(\frac43;0\right)\): \(3\cdot\frac{16}{9}-4\cdot\frac43=0\) и \(3\cdot\frac43-4=0\) — тоже верно.
Системы 5–8 на фото обрезаны; чтобы решить их, нужен снимок правой части.
Обсуждение
2 сообщенияРеши второй пример так же
Второй пример: \[ \begin{cases} y=9x^2-14x,\\ y=9x-14. \end{cases} \]
Краткий ответ: \((1;-5)\), \(\left(\frac{14}{9};0\right)\). Порядок пар не важен.
Решение. В обоих уравнениях \(y\) уже выражен через \(x\), поэтому приравняем правые части: \[ 9x^2-14x=9x-14. \] Перенесём всё влево: \[ 9x^2-14x-9x+14=0, \] \[ 9x^2-23x+14=0. \] Разложим на множители: \[ 9x^2-23x+14=(x-1)(9x-14). \] Значит, \[ (x-1)(9x-14)=0. \] Отсюда: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac{14}{9}. \]
Теперь находим \(y\) по более простому уравнению \(y=9x-14\):
- при \(x=1\): \[ y=9\cdot1-14=-5; \]
- при \(x=\frac{14}{9}\): \[ y=9\cdot\frac{14}{9}-14=14-14=0. \]
Получаем пары: \[ (1;-5), \qquad \left(\frac{14}{9};0\right). \]
Проверка. Для \((1;-5)\): \[ 9\cdot1^2-14\cdot1=-5, \] и \[ 9\cdot1-14=-5. \] Для \(\left(\frac{14}{9};0\right)\): \[ 9\cdot\left(\frac{14}{9}\right)^2-14\cdot\frac{14}{9} =\frac{196}{9}-\frac{196}{9}=0, \] и \[ 9\cdot\frac{14}{9}-14=0. \] Обе пары подходят.
