Номер 15 и 16

Кратко:

• №15: \(\sin A=\dfrac{2}{3}\);
• №16: \(\operatorname{tg}A=\dfrac{8}{5}=1{,}6\).

№15. В равнобедренном треугольнике \(AC=BC\), значит, основание — \(AB\). Высота \(CH\), опущенная на основание, образует прямоугольный треугольник \(ACH\). В нём:

• гипотенуза \(AC=6\);
• против угла \(A\) лежит катет \(CH=4\).

Поэтому \[ \sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} =\frac{CH}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \]

Проверка: \(AH=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\), тогда \(\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{\sqrt5}{3}\), и \[ \sin^2 A+\cos^2 A=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1. \]

№16. Здесь \(AC=BC\), основание \(AB=10\), высота \(CH=8\). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, поэтому \[ AH=\frac{AB}{2}=5. \] В прямоугольном треугольнике \(ACH\) для угла \(A\): \[ \operatorname{tg}A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} =\frac{CH}{AH}=\frac{8}{5}=1{,}6. \]

Проверка: \(AC=\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}\), тогда \(\sin A=\frac{8}{\sqrt{89}}\), \(\cos A=\frac{5}{\sqrt{89}}\), и их отношение действительно равно \(\frac{8}{5}\).

Что запомнить: для острого угла прямоугольного треугольника \[ \sin=\frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}},\qquad \cos=\frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}},\qquad \operatorname{tg}=\frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}. \] А в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам.