364. Келесі тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия мүшелері болатынын көрсетіңдер:

Қысқа жауабы: арифметикалық прогрессия болатындары — ә), б), г), ғ). Ал а) мен в) прогрессия емес.

Негізгі принцип. Тізбек арифметикалық прогрессия болуы үшін әр мүшеден алдыңғы мүшені шегергендегі айырма бірдей тұрақты сан болуы керек:

\[ a_{n+1}-a_n=d=\text{const} \]

Сондықтан тек көршілес екі жұптың айырмасын салыстыру жеткіліксіз — барлық айырмалар тең болуы шарт. Егер бір жерде айырма өзгеше болса, тізбек прогрессия емес.

Әр тізбекті тексеру

а) \(12;\ -14;\ 16;\ -18\) \[ -14-12=-26,\quad 16-(-14)=30 \] \(-26\ne 30\) → айырмалар әр түрлі, прогрессия емес (таңбалар кезектесіп тұр, сондықтан айырма да таңбасын ауыстырады).

ә) \(4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 4\) \[ 4-4=0 \] Барлық айырма \(0\), яғни \(d=0\) → прогрессия (тұрақты тізбек).

б) \(98;\ 95;\ 92;\ 89\) \[ 95-98=-3,\quad 92-95=-3,\quad 89-92=-3 \] \(d=-3\) → прогрессия.

в) \(7;\ 14;\ 28;\ 56\) \[ 14-7=7,\quad 28-14=14 \] Айырмалар тең емес → прогрессия емес. Мұнда әр мүше екі еселенеді (\(7\cdot 2=14,\ 14\cdot 2=28\)), бұл — геометриялық прогрессия.

г) \(-15;\ -11;\ -7;\ -3\) \[ -11-(-15)=4,\quad -7-(-11)=4,\quad -3-(-7)=4 \] \(d=4\) → прогрессия.

ғ) \(\frac{1}{5};\ \frac{7}{10};\ \frac{6}{5};\ \frac{17}{10}\)

Бөлшектерді бір бөлімге келтіреміз: \(\frac{2}{10};\ \frac{7}{10};\ \frac{12}{10};\ \frac{17}{10}\).

\[ \frac{7}{10}-\frac{1}{5}=\frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \] \[ \frac{6}{5}-\frac{7}{10}=\frac{12}{10}-\frac{7}{10}=\frac{1}{2},\qquad \frac{17}{10}-\frac{6}{5}=\frac{17}{10}-\frac{12}{10}=\frac{1}{2} \] \(d=\frac{1}{2}\) → прогрессия.

Тексеру (формула бойынша). \(a_n=a_1+d(n-1)\):

• г) \(a_n=-15+4(n-1)\); \(n=4\): \(-15+12=-3\) ✓ (тізбектегі төртінші мүше);
• ғ) \(a_n=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}(n-1)\); \(n=2\): \(0{,}2+0{,}5=0{,}7=\frac{7}{10}\) ✓; \(n=4\): \(0{,}2+1{,}5=1{,}7=\frac{17}{10}\) ✓.

Жалпы тәсіл: келесі есептерде де әр жұптың айырмасын есептеп, олардың теңдігін тексеру жеткілікті; бөлшектер болса, алдымен ортақ бөлімге келтіріп, содан кейін шегеру керек.