316. Распределение вероятностей дискретной случайной величины X задано таблицами 71 и 72: а)

Краткий ответ

№ 316. а) \(p=0{,}18\); б) \(p=\frac{1}{2}=0{,}5\). № 317. а) \(0{,}4\); б) \(0{,}9\); в) \(0{,}4\); г) \(0{,}1\); д) \(0{,}9\).

Главный принцип

У дискретной случайной величины сумма всех вероятностей равна единице:

\[ \sum p_i = 1 \]

А вероятность события — это сумма вероятностей тех значений \(X\), которые в это событие попадают. Отсюда два рабочих приёма: «вычесть известное из единицы» и «сложитьprobabilities нужных столбцов».

№ 316. Ищем \(p\)

а) Таблица 71. Складываю известные вероятности:

\[ 0{,}2+0{,}12+0{,}1+0{,}4=0{,}82 \]

\[ p = 1-0{,}82 = 0{,}18 \]

Проверка: \(0{,}2+0{,}12+0{,}1+0{,}18+0{,}4=1\) — верно.

б) Таблица 72. Привожу к шестнадцатым:

\[ \frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2} \]

\[ p = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]

Проверка: \(\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{4}{16}+\frac{8}{16}+\frac{1}{16}=1\) — верно.

Полигон распределения. По оси \(Ox\) откладываются значения \(X\), по оси \(Oy\) — вероятности; точки соединяются отрезками (ломаной).

• Для а): \((1;\ 0{,}2)\), \((5;\ 0{,}12)\), \((10;\ 0{,}1)\), \((11;\ 0{,}18)\), \((12;\ 0{,}4)\).
• Для б): \((-2;\ \frac{1}{16})\), \((-1;\ \frac{1}{8})\), \((0;\ \frac{1}{4})\), \((1;\ \frac{1}{2})\), \((2;\ \frac{1}{16})\).

№ 317. Таблица 73

Сначала проверяю таблицу: \(0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}05=1\) — таблица корректна.

а) \(X<5\) — подходят значения 0 и 3: \[ 0{,}1+0{,}3=0{,}4 \]

б) \(X\ge 3\) — подходят 3, 5, 10, 50. Проще через противоположное событие: \[ 1-0{,}1=0{,}9 \]

в) \(4<X<8\) — строгие неравенства, подходит только \(X=5\): \[ 0{,}4 \]

г) \(X\le 0\) — только \(X=0\): \[ 0{,}1 \]

д) \(X>0\) — все значения, кроме нуля: \[ 1-0{,}1=0{,}9 \]

Обрати внимание: в пунктах б) и д) ответ одинаковый (\(0{,}9\)), но это разные события — совпало потому, что «выпадает» только одно значение \(0\).