Решить неравенство (355—357).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Решить неравенство (355—357). 355
- \(\log_{3}(x+2)<3\);
- \(\log_{8}(4-2x)\ge 2\);
Краткий ответ:
- \(\log_{3}(x+2)<3 \iff x\in(-2;\,25)\);
- \(\log_{8}(4-2x)\ge 2 \iff x\in(-\infty;\,-30]\).
Как решать
Сначала всегда находим ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным. Если основание логарифма больше \(1\), то логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.
- \[ \log_{3}(x+2)<3 \]
ОДЗ: \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2. \]
Так как \(3=\log_{3}27\), получаем: \[ \log_{3}(x+2)<\log_{3}27. \]
Основание \(3>1\), значит: \[ x+2<27 \Rightarrow x<25. \]
Объединяем с ОДЗ: \[ -2<x<25. \]
Ответ: \((-2;\,25)\).
- \[ \log_{8}(4-2x)\ge 2 \]
ОДЗ: \[ 4-2x>0 \Rightarrow x<2. \]
Так как \(2=\log_{8}64\), получаем: \[ \log_{8}(4-2x)\ge \log_{8}64. \]
Основание \(8>1\), поэтому: \[ 4-2x\ge 64. \]
Решаем: \[ -2x\ge 60, \] \[ x\le -30. \]
Этот промежуток полностью входит в ОДЗ \(x<2\).
Ответ: \((-\infty;\,-30]\).
Проверка:
В первом неравенстве \(x=-2\) недопустим, \(x=25\) не входит; например, \(x=0\) подходит.
Во втором \(x=-30\) даёт \(\log_{8}64=2\), поэтому граница входит; \(x=0\) уже не подходит.
Обсуждение
4 сообщениянапиши только решение
\[ \log_{3}(x+2)<3 \] \[ \begin{cases} x+2>0,\\ x+2<27 \end{cases} \Longleftrightarrow -2<x<25. \] Ответ: \((-2;\,25)\).
\[ \log_{8}(4-2x)\ge 2 \] \[ \begin{cases} 4-2x>0,\\ 4-2x\ge 64 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x<2,\\ x\le -30 \end{cases} \Longleftrightarrow x\le -30. \] Ответ: \((-\infty;\,-30]\).
\[ \log_{3}(x+1)<-2 \] \[ \begin{cases} x+1>0,\\ x+1<3^{-2} \end{cases} \Longleftrightarrow -1<x<-\frac{8}{9}. \] Ответ: \(\left(-1;\,-\frac{8}{9}\right)\).
\[ \log_{\frac13}(x-1)\ge -2 \] \[ \begin{cases} x-1>0,\\ x-1\le \left(\frac13\right)^{-2}=9 \end{cases} \Longleftrightarrow 1<x\le 10. \] Ответ: \((1;\,10]\).
\[ \log_{\frac15}(4-3x)\ge -1 \] \[ \begin{cases} 4-3x>0,\\ 4-3x\le \left(\frac15\right)^{-1}=5 \end{cases} \Longleftrightarrow -\frac13\le x<\frac43. \] Ответ: \(\left[-\frac13;\,\frac43\right)\).
\[ \log_{\frac23}(2-5x)<-2 \] \[ \begin{cases} 2-5x>0,\\ 2-5x>\left(\frac23\right)^{-2}=\frac94 \end{cases} \Longleftrightarrow x<-\frac{1}{20}. \] Ответ: \(\left(-\infty;\,-\frac{1}{20}\right)\).
