реши и объясни

Судя по пометкам на фото, нужны номера 3.325, 3.329 и 3.330. Решаю их.

3.325. Вычислите

Степень означает повторное умножение: \[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ раз}} \]

а) \(16^2=16\cdot16=256\)

б) \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\)

в) \(19^2=19\cdot19=361\)

г) \(30^3=30\cdot30\cdot30=27\,000\)

д) \(50^2=50\cdot50=2\,500\)

е) \(100^3=100\cdot100\cdot100=1\,000\,000\)

3.329. Выполните действия

Порядок действий: сначала степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Скобки выполняются первыми.

а) \[ 5\cdot2^4+7^2=5\cdot16+49=80+49=129 \]

б) \[ (9^3-3^3):3^2=(729-27):9=702:9=78 \]

в) \[ 8^3-4\cdot5^2=512-4\cdot25=512-100=412 \]

г) \[ 10^4\cdot(5^3+5^2)=10\,000\cdot(125+25)=10\,000\cdot150=1\,500\,000 \]

3.330. Запишите число суммой разрядных слагаемых

Здесь \(10^6\) — это миллионы, \(10^3\) — тысячи, \(10\) — десятки и так далее.

а) \[ 3\cdot10^6+4\cdot10^3+8\cdot10+5 \] \[ =3\,000\,000+4\,000+80+5=3\,004\,085 \]

б) \[ 10^{12}+3\cdot10^8+9\cdot10^5+10 \] \[ =1\,000\,000\,000\,000+300\,000\,000+900\,000+10 \] \[ =1\,000\,300\,900\,010 \]

Если нужны ещё какие-то номера с этой страницы, напишите их.

Как я рассуждал при решении

1. Степени (3.325): что значит \(a^n\)

Запись \(a^n\) — это не умножение \(a\) на \(n\), а повторное умножение числа \(a\) самого на себя \(n\) раз. Поэтому первым делом я «раскладывал» каждую степень в произведение:

• \(16^2=16\cdot16\). Считал так: \(16\cdot10=160\), \(16\cdot6=96\), всего \(256\).
• \(19^2=19\cdot19\). Удобнее через \((20-1)^2=400-40+1=361\).
• \(5^3=5\cdot5\cdot5=25\cdot5=125\).
• \(30^3=3^3\cdot10^3=27\cdot1000=27\,000\) — степень произведения: \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\).
• \(50^2=25\cdot100=2\,500\).
• \(100^3=10^6=1\,000\,000\) — у числа \(10\) в кубе просто шесть нулей.

2. Порядок действий (3.329)

Правило, по которому я шёл: скобки → степени → умножение и деление → сложение и вычитание (слева направо внутри каждого уровня).

а) \(5\cdot2^4+7^2\). Сначала степени: \(2^4=16\), \(7^2=49\). Потом умножение: \(5\cdot16=80\). И только затем сложение: \[ 80+49=129. \] Ошибка, которую здесь часто делают, — считать \(5\cdot2=10\), а потом \(10^4\). Так нельзя: степень «привязана» только к числу \(2\).

б) \((9^3-3^3):3^2\). Первой идёт скобка: \(9^3=729\), \(3^3=27\), разность \(702\). Делим на \(3^2=9\): \[ 702:9=78. \] Проверка: \(78\cdot9=702\). Можно было и короче, разделив почленно: \[ \frac{9^3}{3^2}-\frac{3^3}{3^2}=9-3=78. \]

в) \(8^3-4\cdot5^2\). Степени: \(8^3=512\), \(5^2=25\). Умножение: \(4\cdot25=100\). Вычитание: \[ 512-100=412. \] Здесь важно не вычесть раньше времени: \(4\cdot5^2\neq(4\cdot5)^2=400\).

г) \(10^4\cdot(5^3+5^2)\). Скобка: \(125+25=150\) (или с вынесением: \(5^2(5+1)=25\cdot6=150\)). Затем \(10^4=10\,000\): \[ 10\,000\cdot150=1\,500\,000. \]

3. Разрядные слагаемые (3.330)

Смысл записи \(k\cdot10^n\): цифра \(k\) стоит в разряде, который на \(n+1\)-м месте справа. То есть \(10^n\) — это «единица с \(n\) нулями», а умножение на \(k\) ставит \(k\) в этот разряд.

Я просто переводил каждое слагаемое в обычное число и складывал столбиком:

а) \(3\cdot10^6=3\,000\,000\); \(4\cdot10^3=4\,000\); \(8\cdot10=80\); \(5\). Разряды разные, поэтому цифры не «наезжают» друг на друга: \[ 3\,000\,000+4\,000+80+5=3\,004\,085. \] Проверка по триадам: \(3\,|\,004\,|\,085\).

б) \(10^{12}=1\,000\,000\,000\,000\); \(3\cdot10^8=300\,000\,000\); \(9\cdot10^5=900\,000\); \(10\). Складываю по разрядам: \[ 1\,000\,000\,000\,000+300\,000\,000+900\,000+10=1\,000\,300\,900\,010. \] По триадам это \(1\,|\,000\,|\,300\,|\,900\,|\,010\), то есть 1 триллион, 300 миллионов, 900 тысяч и 10.

Общий приём для самопроверки: любое такое число можно разбить справа на группы по три цифры — и каждая группа сразу покажет, в каком разряде стоит цифра. Если при обратном разложении получаются те же слагаемые, ответ верный.