143. На рисунке 82 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:

На фото видны два номера — 143 и 145. Ниже — доказательства для обоих.

Кратко: в №143 оба утверждения следуют из равенства треугольников; в №145 сначала доказываем равенство треугольников с медианами, а затем — равенство исходных треугольников.

143

а) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).

У них: \[ AB=CD,\qquad BC=AD \quad (\text{дано } AD=BC),\qquad AC=CA \] — общая сторона.

Значит, по трём сторонам: \[ \triangle ABC \cong \triangle CDA. \]

В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому угол между \(AB\) и \(AC\) равен углу между \(AC\) и \(CD\): \[ \angle BAC=\angle ACD. \] Это же равенство можно записать как \(\angle CAB=\angle ACD\).

б) Из \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\) также следует: \[ \angle ABC=\angle CDA=\angle ADC. \]

Так как \(BE\) и \(DF\) — биссектрисы: \[ \angle ABE=\frac12\angle ABC,\qquad \angle CDF=\frac12\angle ADC. \] Поэтому \[ \angle ABE=\angle CDF. \]

Кроме того, точки \(E\) и \(F\) лежат на \(AC\), значит: \[ \angle BAE=\angle BAC=\angle ACD=\angle DCF. \]

Теперь в треугольниках \(ABE\) и \(CDF\): \[ AB=CD,\qquad \angle BAE=\angle DCF,\qquad \angle ABE=\angle CDF. \] Сторона \(AB\) лежит между равными углами \(\angle BAE\) и \(\angle ABE\), а сторона \(CD\) — между равными углами \(\angle DCF\) и \(\angle CDF\). Значит, по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle ABE\cong\triangle CDF. \]

145

Пусть \(M\) — середина \(AC\), а \(M_1\) — середина \(A_1C_1\). Тогда \[ AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1. \] Но \(AC=A_1C_1\), поэтому \[ AM=A_1M_1. \]

Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle A_1B_1M_1\). У них: \[ AB=A_1B_1,\qquad AM=A_1M_1,\qquad BM=B_1M_1 \] (последнее — по условию, так как \(BM\) и \(B_1M_1\) — равные медианы).

Значит, по трём сторонам: \[ \triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1. \] Отсюда: \[ \angle BAM=\angle B_1A_1M_1. \] Так как \(M\) лежит на \(AC\), а \(M_1\) — на \(A_1C_1\), получаем: \[ \angle BAC=\angle B_1A_1C_1. \]

Теперь в треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle BAC=\angle B_1A_1C_1. \] По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1. \]

Принцип: сначала ищем или специально создаём вспомогательные равные треугольники, а потом переносим равенство их элементов на нужные фигуры. Для биссектрис всегда полезно брать половины равных углов.