Реши уравнения
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант №1
B1 Решите неравенство \(\sqrt{3x-2}<1\)
B2 Решите неравенство \(\sqrt{\frac{1-x}{9+3x}}+7>0\)
B3 Найдите наибольшее целое решение неравенства \(\sqrt{x^{2}-x-2}\le x-1\)
B4 Найдите наибольшее целое решение неравенства \(3\sqrt{x+1}>x-9\)
B5 Решите неравенство \(\sqrt{4-5x}>\sqrt{10x^{2}-x-2}\)
B6 Найдите наименьшее целое решение неравенства \((x-3)\sqrt{x^{2}+x-2}\ge0\)
C1 Решите неравенство \(\frac{\sqrt{2x+5}-3}{2x-x^{2}}>0\)
C2 Решите неравенство \(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}>\sqrt{8x-5}\)
На фото не уравнения, а неравенства. Ниже — решения всего варианта №1.
| № | Ответ |
|---|---|
| B1 | \(x\in\left[\frac{2}{3};1\right)\) |
| B2 | \(x\in(-3;1]\) |
| B3 | \(3\) |
| B4 | \(23\) |
| B5 | \(x\in\left(-1;-\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\frac{3}{5}\right)\) |
| B6 | \(-2\) |
| C1 | \(x\in\left[-\frac{5}{2};0\right)\) |
| C2 | \(x\in\left[\frac{5}{8};1\right]\) |
Общая схема: сначала ОДЗ, затем проверяем знаки; возводить в квадрат можно только тогда, когда обе части неотрицательны.
B1. ОДЗ: \(3x-2\ge0\), то есть \(x\ge\frac23\). Возводим в квадрат: \[ 3x-2<1 \Rightarrow x<1. \] Пересечение: \(\left[\frac23;1\right)\).
B2. Нужно \[ \frac{1-x}{9+3x}\ge0. \] Нуль числителя \(x=1\), знаменатель обращается в нуль при \(x=-3\). Получаем \(x\in(-3;1]\). На этом множестве корень существует и неотрицателен, поэтому \(\sqrt{\cdot}+7\ge7>0\). Подходят все \(x\in(-3;1]\).
B3. ОДЗ: \(x^2-x-2\ge0\), то есть \(x\le-1\) или \(x\ge2\). Правая часть должна быть неотрицательной, значит \(x\ge2\). Возводим в квадрат: \[ x^2-x-2\le(x-1)^2 \Rightarrow x\le3. \] Значит \(x\in[2;3]\), наибольшее целое — \(3\).
B4. ОДЗ: \(x\ge-1\). При \(x<9\) правая часть \(x-9<0\), а левая неотрицательна, поэтому неравенство верно. При \(x\ge9\) возводим в квадрат: \[ 9(x+1)>(x-9)^2 \Rightarrow x^2-27x+72<0 \Rightarrow 3<x<24. \] Отсюда при \(x\ge9\): \(9\le x<24\). Общее решение: \([-1;24)\), наибольшее целое — \(23\).
B5. Нужны \[ 4-5x\ge0,\qquad 10x^2-x-2\ge0. \] После возведения в квадрат: \[ 4-5x>10x^2-x-2 \Rightarrow 5x^2+2x-3<0 \Rightarrow (5x-3)(x+1)<0. \] То есть \(-1<x<\frac35\). С учётом ОДЗ: \[ \left(-1;-\frac25\right]\cup\left[\frac12;\frac35\right). \]
B6. ОДЗ: \[ x^2+x-2\ge0 \Rightarrow x\le-2 \text{ или } x\ge1. \] Корень неотрицателен. Произведение равно нулю при \(x=-2\) и \(x=1\), а положительно при \(x\ge3\). Решение: \[ x\in\{-2;1\}\cup[3;+\infty). \] Наименьшее целое — \(-2\).
C1. ОДЗ: \(x\ge-\frac52\), \(x\ne0\), \(x\ne2\). Числитель равен нулю при \(x=2\): \[ \sqrt{2x+5}-3<0 \text{ при } x<2,\qquad >0 \text{ при } x>2. \] Знаменатель \(2x-x^2=x(2-x)\) положителен при \(0<x<2\) и отрицателен при \(x<0\) или \(x>2\). Частное положительно только на \(\left[-\frac52;0\right)\).
C2. ОДЗ: \[ x\ge-3,\quad x\le1,\quad x\ge\frac58, \] то есть \(x\in\left[\frac58;1\right]\). Возводим в квадрат: \[ 4+2\sqrt{(x+3)(1-x)}>8x-5, \] \[ 2\sqrt{(x+3)(1-x)}>8x-9. \] На промежутке \(\left[\frac58;1\right]\) правая часть \(8x-9<0\), а левая неотрицательна, поэтому неравенство верно на всём ОДЗ: \[ x\in\left[\frac58;1\right]. \]
Проверка крайних точек: в B3 \(x=3\) даёт равенство; в B4 \(x=24\) даёт равенство; в B5 \(x=-1\) и \(x=\frac35\) дают равенство, поэтому не входят.
Обсуждение
2 сообщенияРеши уравнения
На фото — иррациональные неравенства. Ответы:
- B1: \(x\in\left[\frac{2}{3};\,1\right)\)
- B2: \(x\in(-3;\,1]\)
- B3: наибольшее целое решение — \(3\)
- B4: наибольшее целое решение — \(23\)
- B5: \(x\in\left(-1;\,-\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\,\frac{3}{5}\right)\)
- B6: наименьшее целое решение — \(-2\)
- C1: \(x\in\left[-\frac{5}{2};\,0\right)\)
- C2: \(x\in\left[\frac{5}{8};\,1\right]\)
Краткие решения
B1.
\[
\sqrt{3x-2}<1
\]
Область: \(3x-2\ge 0\), то есть \(x\ge \frac{2}{3}\). Возводим в квадрат:
\[
3x-2<1 \Rightarrow x<1.
\]
Значит:
\[
x\in\left[\frac{2}{3};1\right).
\]
B2.
Корень всегда неотрицателен, поэтому
\[
\sqrt{\frac{1-x}{9+3x}}+7>0
\]
выполняется всюду, где корень определён. Нужно:
\[
\frac{1-x}{9+3x}\ge 0.
\]
Отсюда \(x\in(-3;1]\).
B3.
Правая часть должна быть неотрицательной:
\[
x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1.
\]
Подкоренное выражение:
\[
x^2-x-2=(x-2)(x+1)\ge 0,
\]
поэтому \(x\ge 2\). После возведения в квадрат:
\[
x^2-x-2\le (x-1)^2
\]
\[
-x-2\le -2x+1 \Rightarrow x\le 3.
\]
Получаем \(x\in[2;3]\). Наибольшее целое — \(3\).
B4.
Область: \(x\ge -1\). Пусть \(t=\sqrt{x+1}\ge 0\), тогда \(x=t^2-1\):
\[
3t>t^2-10
\]
\[
t^2-3t-10<0
\]
\[
(t-5)(t+2)<0.
\]
Так как \(t\ge 0\), то \(t<5\), то есть \(x<24\). Значит \(x\in[-1;24)\), наибольшее целое — \(23\).
B5.
Область:
\[
4-5x\ge 0,\qquad 10x^2-x-2\ge 0.
\]
Получаем:
\[
x\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\frac{4}{5}\right].
\]
Возводим в квадрат:
\[
4-5x>10x^2-x-2
\]
\[
5x^2+2x-3<0
\]
\[
(5x-3)(x+1)<0.
\]
Отсюда \(-1<x<\frac{3}{5}\). С учётом области:
\[
x\in\left(-1;-\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{1}{2};\frac{3}{5}\right).
\]
B6.
Область:
\[
x^2+x-2=(x+2)(x-1)\ge 0,
\]
то есть \(x\le -2\) или \(x\ge 1\).
Корень равен нулю при \(x=-2\) и \(x=1\) — это решения. При остальных \(x\) из области корень положителен, поэтому нужно \(x-3\ge 0\), то есть \(x\ge 3\).
Полное решение:
\[
\{-2\}\cup\{1\}\cup[3;+\infty).
\]
Наименьшее целое — \(-2\).
C1.
Область:
\[
x\ge -\frac{5}{2},\qquad x\ne 0,\ x\ne 2.
\]
Числитель обращается в нуль при \(x=2\), знаменатель — при \(x=0\) и \(x=2\).
На промежутке \(\left[-\frac{5}{2};0\right)\) числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна. На остальных промежутках она не положительна.
Значит:
\[
x\in\left[-\frac{5}{2};0\right).
\]
C2.
Область:
\[
x+3\ge 0,\quad 1-x\ge 0,\quad 8x-5\ge 0,
\]
откуда
\[
x\in\left[\frac{5}{8};1\right].
\]
Возводим в квадрат:
\[
x+3+1-x+2\sqrt{(x+3)(1-x)}>8x-5,
\]
\[
2\sqrt{(x+3)(1-x)}>8x-9.
\]
На промежутке \(\left[\frac{5}{8};1\right]\) правая часть \(8x-9\le -1\), а левая неотрицательна. Поэтому неравенство выполнено на всей области определения:
\[
x\in\left[\frac{5}{8};1\right].
\]
