3. Прямая СД проходит через вершину > треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Докажите, что прямые СД И АВ- скрещивающиеся.

Краткий ответ: прямые \(CD\) и \(AB\) скрещивающиеся, потому что не существует плоскости, которая содержала бы обе эти прямые.

Доказательство

Обозначим плоскость треугольника через \(\alpha=(ABC)\). Тогда

\[ AB\subset \alpha,\qquad C\in\alpha,\qquad C\notin AB. \]

Предположим, что \(CD\) и \(AB\) лежат в некоторой общей плоскости \(\beta\). Эта плоскость содержит прямую \(AB\) и точку \(C\). Но через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость, поэтому

\[ \beta=\alpha. \]

Тогда из \(\beta=\alpha\) следует \(CD\subset\alpha\), что противоречит условию \(CD\not\subset(ABC)\).

Значит, плоскости, содержащей одновременно \(CD\) и \(AB\), не существует. По определению такие прямые являются скрещивающимися.

Проверка: прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(C\), а \(C\notin AB\), значит, \(CD\) и \(AB\) не пересекаются. Параллельными они тоже быть не могут: две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости, что снова привело бы к \(CD\subset(ABC)\). Остаётся единственный случай — скрещивающиеся прямые.